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1、摘要摘要保险公司为了应对保险监管，更好的规避风险，追求更大利润，不仅会对自身承办的业务进行再保险安排，还会将盈余进行投资，以期获得更多收益。现实中，保险公司的损失主要来自承保赔付和投资亏损两个方面，比如地震、航空事故带来的巨额赔付，金融危机带来的投资损失等。在这种情况下，分析再保险及投资的最优策略，对于保险业来说具有十分重要的意义。论文针对保险公司的最优再保险策略及投资策略的选择问题进行研究。重点研究了变换损失再保险及CEV模型下的最优再保险和投资，研究使得调节系数最大准则下最优变换损失再保险，以及在对应不同的效用准则时的最优比例再保险和投资策略，并利用数值计算的方法分析了多种参数对最优策略的
2、影响。关键词变换损失再保险；随机控制；效用函数；最优投资I 燕山大学本科生毕业设计（论文）AbstractIn order to obtain more benefits and in response to insurance supervision, better risk-averse, the pursuit of greater profits, insurance companies not only on its reinsurance arrangement the hosting business, there will be surplus to invest,. In r
3、eality, insurers losses from underwriting compensation and investment aspects, such as earthquakes, air accidents caused by huge payments, investment losses from the financial crisis. In this case, the analysis of optimal reinsurance and investment strategy, has very important significance for the i
4、nsurance.According to the insurance companys problem of selecting the optimal proportional reinsurance policy and investment policy are studied. The article focuses on transformation-loss reinsurance and optimal investment and reinsurance. And under CEV model, the article studied under the criterion
5、 of maximum adjustment factors for optimal transform loss reinsurance, and the effectiveness of different criteria for the optimal proportional reinsurance and investment strategy, and using numerical methods to analyze the influence of various parameters on the optimum strategy.Keywords Transform l
6、oss reinsurance; Stochastic control; Utility functions, optimal investmentIII目录目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2 国内外研究现状11.3 论文主要内容4第2章 基础知识62.1 一般风险模型62.1.1 经典风险模型62.1.2 扩散风险模型72.2 再保险及投资82.2.1 常用再保险方式82.2.2 投资资产82.3 基本理论92.3.1 最优准则92.3.2 最优随机控制理论122.4 本章小结14第3章 最优变换损失再保险153.1 模型介绍153.2 数值计算183.3
7、 本章小结19第4章 CEV模型实例分析204.1 模型及方程204.1.1 CEV模型204.1.2 HJB方程214.2 指数效用函数对应的最优策略234.2.1 最优策略及其值函数234.2.2 数值计算及其经济分析254.3 幂效用函数对应的最优策略284.3.1 最优策略及其值函数284.3.2 数值计算及其经济分析304.4 对数效用函数对应的最优策略344.4.1 最优策略及其值函数354.4.2 数值计算及其经济分析364.5 本章小结38结论39参考文献40致谢42附录1 开题报告43附录2 文献综述51附录3 中文译文58附录4 外文原文63III第1章 绪论 第1章 绪论
8、1.1 课题背景对于保险公司来说，风险是一把双刃剑，处理得当就意味着滚滚利润；一旦失手，公司将陷入破产深渊。为了能够持续盈利，更为了永久生存，保险公司一方面会逐步完善风险管理的技能，以避免灾难性的损失，同时也要不断拓展业务，进而承担了更多的风险。再保险实务中，由于保险行业竞争日趋激烈，保险公司不仅会采取再保险的方式规避风险，还会对盈余进行投资，从投资中获得大量的收益来提高自己的偿付能力。再保险实务中，保险业遭受的损失主要来自于投资和承保两个方面。在投资方面，2008年美国次贷危机以及其后引发的金融危机中，全球最大的保险公司美国国际集团(AIG)由于采取了激进的投资策略，在次贷支持类债券、信用违
9、约互换和其它衍生品方面进行了大量投资，蒙受了巨额亏损，陷入了破产的边缘，不得不向美联储求救；在承保方面，次贷危机使得董事高管责任和错误遗漏保险、住房按揭保险、债券保险等业务的赔款支出显著增加，许多公司陷入困境。另外像2010年的玉树地震及今年的马航事件等不确定的巨额赔付也给保险公司带来不小的挑战。保险公司在强化自身的风险管理能力同时，还必须平衡承保活动和投资活动之间的关系。因此，怎样进行再保险和投资，使得自身的破产概率最小或者期望财富效用最大已经成为每个保险公司都必须面对的问题，也成为风险理论的一个新的研究热点。保险公司的最优再保险和投资策略是当今金融数学研究的热点问题之一，它的理论不仅丰富和
10、发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融保险学之间的联系，对数学的发展起了不小的推动作用。论文就有关保险公司的再保险策略及最优投资策略的研究现状和研究方法进行综述。1.2 国内外研究现状再保险数学，也称精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容。现已公认，破产论的研究起源于瑞典精算师Lundberg在1903年发表的博士论文，至今已有近百年的历史。Stockholm学派的领导人物Cramer在完善Lundberg的数学工作中发挥了重要的作用，同时也从这一研究出发，对概率论和数理统计的发展做出了重要贡献。之后Feller(1971)推广了Cramer(1955)的结果，给出了更新论证。
11、Gerber(1969，1970)也推广了Cramer的结果，给出了用鞅方法研究破产问题。继Cramer后，Gerber成为当代研究破产论的领先学者。他不仅将鞅方法引入到破产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容。虽然经典Cramer-Lundberg模型近似于保险公司的现实状况，但在经典Cramer-Lundberg模型中，很多问题无法得到确切的显式解，因此近年来，很多文献将其近似为扩散模型，且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时，扩散风险模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。Brown(1995)研究了扩散风险模型的最优投资问题，他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司的
12、扩散风险模型中的布朗运动不独立时，得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略是常数，并利用光滑粘贴条件详细计算了最小破产概率1。Schmidli(2001)研究了扩散风险模型中的最优比例再保险策略，他得到了此时的最优策略是一个常数，并给出了此常数值以及破产概率的具体形式。Taksar和Markussen(2003)假定公司现金流过程为扩散过程，公司盈余全部投资于股票市场(股票价格服从几何布朗运动)时，在破产概率最小限制下保险公司所采取的最优比例再保险策略。Hojgaard和Taksar(1997)考虑了扩散模型中，在预期折现红利收益最大限制下的最优比例再保险策略。对于再保险问题的研究工作，一般主
13、要集中在比例再保险和超额损失再保险的研究上。Schimidli(2001)分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额损失再保险下的最小破产概率的Cramer-Lundberg近似。Hipp和Vogt(2003)研究了最优超额损失再保险2，且证明了相应的HJB方程存在光滑解，并给出了HJB方程的检验定理，对指数理赔分布Pareto分布给出了数值解。近年来，效用函数的研究成保险数学的研究热点之一。Yang和Zhang(2005)考虑了跳-扩散风险模型的最优投资问题3。他们考虑的是指数效用函数，获得了最优的期望折现指数效用，和最优的投资策略。他们的唯一不足是没有考虑再保险。当然保险公司可以在采取再
14、保险策略的同时采取投资策略。Liang(2008)研究了最优再保险和投资问题，在指数效用下，他得出了投资总比不投资好的结论。并给出了一些参数对最优策略和值函数的影响。Guo和Bai(2008)研究了多个风险资产的最优再保险和投资问题。在指数效用函数下，获得了最优再保险和投资策略以及值函数4。Irgens和Panlsen(2004)把风险资产推广到服从跳-扩散过程，在指数、对数、幂数对应效用函数下给出了最优的再保险和投资策略以及值函数。描述投资的风险资产价格的模型越来越复杂，也越来越贴近市场现实状况。Browne(1995)使用的是几何布朗运动(GBM)模型；Cox和Ross(1976)则首次提
15、出了常数弹性变差(CEV)模型，Cox(1996)，Detemple和Tian(2002)，Jones(2003)，Gao(2009)都是使用CEV模型来描述风险资产的价格；而Cox-Ingersoll-Ross(1985)提出了CIR模型；Liu(2001)则使用了Heston模型；Li和Wu(2009)则考虑了既有随机利率又有随机变差的模型等等5。其中CEV模型可以看作GBM模型的一个推广，相对而言它具有较强能力去捕捉到隐含波动性的倾斜度，且分析更易处理。肖艳颖(2002)在用组合投资理论确定最优比例再保险的一个方法中，运用组合投资理论的均值方差原则，分析了保险公司规避风险的问题6。针对比
16、例再保险的不同险种，建立了多目标规划模型并求解，确定了最优自留比例，并将实行再保险后的期望收益和方差与实行前进行了比较，认为结论适合于风险厌恶型的决策者，并对风险分散在证券市场与保险市场的差别进行了比较分析。程兰芳(2003)运用证券组合投资的基本原理和概率论知识，对保险公司承保的不同险种选取最优的自留比例再保险决策问题建立了两类数学模型，特别是构建了确定等价收益和单位风险下的超额收益最大化模型，并通过实例说明对风险规避型的决策者采用比例再保险是有利的7。沈亚男(2012)在赔付率超额再保险风险模型中的鞅方中，基于研究已有的再保险风险模型，建立一类带有干扰项的赔付率超额再保险Poisson风险
17、模型，利用鞅分析的方法证明其破产概率仍满足Lundberg不等式和一般公式，对再保险风险模型进行讨论并对其完善8。田伟(2005)在溢额再保险定价模型中，以随机过程为基础，与传统的以概率统计为基础的再保险定价方法有明显的不同，不考虑死亡率，损失的概率分布等因素，针对溢额再保险，建立了其定价的随机微分方程，给出了具体的定价方式。溢额再保险是分出公司将与自身财力相适应的保险责任按照保险金额的一定金额作为自留额。以自留额的一定倍数作为分出额，并分别按照自留额和分出额对保额的比例来分配保费和分摊赔款的一种再保险方式9。罗琰(2009)在保险公司最优投资及再保险策略中，研究保险公司的最优投资以及成比例再
18、保险问题，即运用随机控制理论，分别在最大化生存概率准则及最大化终止时刻期望效用准则下，得到保险公司最优投资及再保险策略。特别通过选择适当的外生参数(投资者绝对风险厌恶Arow-Pratt系数)，以证明这两类准则下的最优投资及再保险策略是一致的10。刘琳(2011)在停止损失再保险最优自留额的确定及存在性讨论中，利用效用理论讨论了确定停止损失再保险中的最优自留额的数学模型及由模型所确定的最优自留额的存在性问题，给出了最优自留额存在且唯一的充要条件11。该领域需要进一步研究的问题还很多，不同的理赔分布会对应不同的破产概率和不同确定时刻的预期累计收益，故可从理赔分布方面来研究；不同的效用函数会对应不
19、同的确定时刻的预期累计收益，也可从效用函数方面来研究；还有不同的风险资产模型也会对破产概率和确定时刻的预期累计收益产生影响，从而形成了许多不同的研究方向。市场中常见的股票价格模型有很多，如：多维扩散模型，跳扩散模型，随机波动率模型等，故还可从不同的股票价格模型来进行研究。总之，最优再保险及投资问题仍然是一个亟待解决的问题，论文将在这方面的一些分析研究。1.3 论文主要内容本文主要研究了保险公司最优再保险及其投资策略的选择问题，重点研究了变换损失再保险和CEV模型对应的最优再保险及投资。分析了调节系数最大准则下的最优变换损失再保险，以及在不同的效用函数下最优再保险及投资的策略，同时分析了各个相关
20、参数对最优策略的影响。论文分为五章，其主要内容如下：第一章是绪论，主要介绍了再保险研究的背景和现状，以及论文的主要内容。第二章是基本概念和理论，主要介绍了一般的风险模型，再保险及投资的方式，常见的两种最优准则，以及随机控制理论等相关基础知识。第三章主要研究了采用调节系数准则时的最优变换损失再保险，给出了一种确定分保函数参数的计算方法，并对不同方式的再保险进行了比较，为保险公司选择再保险方案，提供一定的理论依据。第四章主要研究了采用不同的效用准则时，最优再保险和投资策略如何确定。通过求解对应的HJB方程，给出了最优再保险、投资策略以及最有期望财富效用函数的数学表达式，分析了最优策略与各参数之间的
21、关系。第五章是结论，主要总结了论文的主要工作，分析了存在的不足。III第2章 基础知识 第2章 基础知识2.1 一般风险模型假设所有的随机过程和随机变量都定义在概率空间（）上，且在概率空间（）上有一个满足通常条件的-代数:=是右连续的，且包含所有的零测集。2.1.1 经典风险模型 在经典风险模型中保险公司在时刻t的盈余可由下式给出，其中0表示保险公司的初始资本；0是保险公司单位时间的保险费率。表示到时刻t为止总的索赔发生次数，是参数为的泊松过程。=1,2,是一列独立同分布的正值随机变量，其共同分布为，=0，期望值为=，表示第次赔付的大小。表示保险公司在时刻的盈余，由于未来时刻的盈余是未知的，因
22、此是一个连续时间的随机过程。考虑到实际运作中的安全保险公司还要求=，设，其中0，称为相对安全负载。实际操作中费率c的确定有很多准则，主要的准则有：(1) 期望准则：(2) 方差准则：用来描述赔付大小的分布主要有下列几种：(1) 指数分布，保险中作为赔付的最基本的分布，分布密度为其中参数既是数学期望又是方差，矩母函数为。指数分布的无记忆性是它成为主要赔付类型的重要原因。(2) 帕累托分布，其分布密度为 其中参数，可记为。帕累托分布的数学期望为，；方差为，。(3) 对数正态分布，其分布密度为 对数正态分布的数学期望和方差为，。(4) 伽马分布也常用来分析风险的异质性，其分布密度为 其中参数，记为。
23、伽马分布的数学期望和方差为，矩母函数为。特别的，当伽马分布就是以为参数的指数分布。2.1.2 扩散风险模型 为了使盈余函数具有连续性，我们可以用标准布朗运动逼近赔付过程，得到扩散风险模型中保险公司在t时刻的盈余=+其中表示保险公司在时刻t的盈余，表示保险公司的初始资本，是保险公司单位时间的保险费率；为一标准布朗运动，为一常数。另外需要指出的是，扩散风险模型在大的保单中可以更好的逼近经典风险模型，因为此时单个赔付额相比整个盈余要小的多，而且它们之间有如下关系存在：=-，=2.2 再保险及投资2.2.1 常用再保险方式 再保险就是保险公司对投保人的风险向再保险公司进行保险。保险公司支付一部分保费给
24、再保险公司, 再保险公司分担投保人的索赔要求。当第=1,2,)次索赔发生时，我们用表示原保险公司应给投保人的赔付金额；表示原保险公司实际赔付金额；表示再保险公司赔付金额, 则有 +=。原保险公司支付的累积理赔, 一般称为自留额。常用的再保险方式有如下三种:(1) 比例再保险: 原保险公司与再保险公司按一定的比例分担赔付金额。 即若假定原保险公司承担比例为，则有,(2) 超额损失再保险: 每次赔付时，原保险公司在没有超过再保险合同中约定的自付额时全部赔偿,在超过再保险合同中约定的自付额时,再保险人就超过部分负责赔偿。即若假定自付额为,则有,(3) 变换损失再保险: 原保险公司先进行超额损失再保险
25、,再进行比例再保险。即如果假定超额损失再保险自付额为,比例再保险原保险公司承担比例为, 则有,变换损失再保险中,中的等号不同时成立。此外再保险方式还有: 一段确定时间内个最大理赔的再保险, 盈余再保险和联合再保险合约等等12。2.2.2 投资资产 保险公司将盈余投入金融市场, 在金融数学中最重要最成功的模型就是Black-Scholes模型。假设金融市场只有两种资产可供交易, 无风险资产(比如债券)和风险资产(比如股票) 13。无风险资产在时刻的价格满足以下常微分方程其中是无风险利率。风险资产(股票)在时刻的价格为，有各种随机模型可以用来描述。我们给出一般形式的微分方程+其中表示风险资产的预期
26、收益率,表示风险资产的波动率。为标准布朗运动。在论文中,我们对连续时间的金融市场模型作标准性假设,即允许连续交易、在交易中不含交易费用和税收、所有资产都是无穷可分的。 2.3 基本理论2.3.1 最优准则 保险公司在进行再保险及投资过程中，都有自己对收益与风险的偏好程度，即存在各自关于收益与风险的最优准则。论文主要介绍两类最优准则:(1) 风险最小准则用来度量风险大小的函数标准有很多, 如Var风险度量, 破产概率等。论文采用破产概率这一标准, 即以最小为最优准则。然而大多数情况下要寻求的显式表达十分复杂,甚至是不可能的,为此论文引入调节系数的概念。首先要求分布的矩母函数在包含原点的某个邻域内
27、存在,又因为=1+在收敛域内是严格递增的凸函数,故方程=1+若有根，此根必唯一。我们将此根称为调节系数,论文记做。对于经典模型，以下记=-，由于过程是齐次增量过程，因此有=又因为=因此当调节系数R存在时，我们有=1。定理2.1 对于经典模型，若调节系数R存在，那么则有证明 令=由于过程是齐次增量过程并且具有零初值，又因为有=1,所以是个正鞅。设T为破产时刻，对任意取定的t，为有界停时。因此有=进而有=+=+易知时，所以。根据单调收敛定理及控制收敛定理我们有：当时，=+又因为=，由此可知=，因此有=而,因此根据上面的定理我们可以用调节系数的大小来描述风险的大小, 这将比用破产概率操作起来方便很多
28、。(2) 收益最大准则 通常我们用效用函数来表示投资者对获得投资收益满足程度, 每个投资者都有自己的效用函数, 并以期望效用最大原则为最优准则。论文中限制投资者为严格的风险厌恶者, 即投资者的效用函数是连续的、严格单调递增并且为严格凹的效用函数(定义域为)，并且满足下面两条：=,=0令=，称为风险厌恶度量，用的符号就可以判定投资者对风险的态度,其结论是:,厌恶风险；爱好风险；，风险为中性。我们常用的效用函数有下面几种:(1) 幂效用函数:=其中是常数，该效用函数的风险厌恶系数=随着的增大而减小,比较符合实际情况。(2) 指数效用函数:=其中是常数，该效用函数的风险厌恶系数=是常数，又因为指数效
29、用函数是在零效用原理下，唯一可以得出独立于保险公司盈余水平的公平保费的函数，所以它再保险数学和精算学应用中有着重要地位。(3) 对数效用函数：=其中是常数，该效用函数的风险厌恶系数=随着的增大而减小,比较符合实际情况。(4) 二次效用函数:=，其中是常数，该效用函数的风险厌恶系数=。2.3.2 最优随机控制理论 随机最优控制理论已广泛用于管理、保险金融等领域，其主要依托Bellman动态规划理14,15。Bellman把动态规划原理表述如下：一个最优策略具有这样的性质，不管初始状态如何，相对于初始策略产生的状态来说，其后的策略必须构成最优策略。也就是说，每个最优策略只能有最优子策略组成，由此我
30、们经常得到一个Bellman动态规划方程，然而这个方程在很多情况下比较难解。有关的内容可参Flemming和Soner。我们考虑最优问题： (2-1)满足条件=，= (2-2)其中状态是属于的一个开子集，控制函数是取值于的一个闭子集上的一个可测有界函数。，和是对应于状态变量的连续函数。为了解决上面的最优控制问题, 我们可以先考虑集族，的控制问题：= (2-3)满足条件=，= (2-4)一个轨迹控制点关于是可行的，那么如果是相应于控制的(2-4)的一个解，且(2-3) 的积分值是有限的。所有的可行轨迹控制点组成的集合记为。定义相应的Bellman函数为= (2-5)引理 2.1 对于任意的，满足
31、的任意的，有i) 任取，则有 (2-6)ii) 存在一个可行点，使得= (2-7)引理 2.2 令是这样一个函数，使得对任意的，满足的任意的，有i) 任取，则有 (2-8)ii) 存在一个可行点，使得= (2-9)iii) 边界条件=对任意的都成立。那么Bellman函数是可达到的且= 。定义2.1 如果下面的性质成立：i) Bellman函数关于是连续可微的；ii) 任取，通过使用连续控制条件值函数是可达到的。那么称是最优控制问题(2-3),(2-4) 在上的一个光滑解。定理2.2 假设是最优控制问题(2-3)-(2-4)在上的一个光滑解，也就是说, 对于所有的，值函数是可达到的，那么i)
32、Bellman函数对于所有的满足所谓的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB )方程 (2-10)ii) 如果存在一个可行点,使得是连续的，且=，则在所有的点，沿着这个轨迹，HJB的最小值在上得到。与最优控制问题(2-3)-(2-4)相关的是：=+ (2-11)它可以看作是定义在和上的函数。定义2.2 我们考虑控制系统(2-4)，令是的一个子区间，函数在上是允许反馈的，那么如果对于任意和，在=上存在唯一的轨迹控制点使得对几乎所有的，= (2-12)这时，我们可以将称为是从开始的一个闭环控制系统。定理2.3 如果下面两条件成立，i) 存在一个连续函数满足= (2-13)并且对于所
33、有的这是唯一的最大值。ii)在区间上给定一个连续且可微的函数，使得等式=在区间上是允许反馈的。那么下面两个命题是等价的：1) 在上满足HJB方程，即+=0，= (2-14) 2) 最优问题有一个光滑解，函数属于Bellman函数，并且对任意的，从开始的一个闭环控制是对唯一的最优控制。2.4 本章小结本章主要介绍了一般的风险模型，再保险及投资的方式，常见的两种最优准则，以及随机控制理论等相关基础知识，为下文的展开做好理论铺垫。第3章 最优变换损失再保险 第3章 最优变换损失再保险3.1 模型介绍假设保险公司单位时间的盈余函数为：=c- (3-1)其中c为单位时间的保费，为单位时间的再保费, 表示
34、第个事故的赔付额，=1,2,是独立同分布的非负的随机变量，共同分布为，其密度函 数为且满足存在使得且即的矩母函数只在包含原点的某个邻域内存在。为分保函数，表示单位时间内赔付次数，满足参数为的泊松分布。假设保险公司采用变换损失再保险，即分保函数为=， (3-2)即保险公司先进行超出损失再保险,自留额为,损失超出部分,再进行比例再保险。由公式(3-2)可知,当=1时,变换损失再保险为超出损失再保险；当 =0时,变换损失再保险为比例再保险。假设再保险公司的保费为方差保费,即=+=+ (3-3)其中为常数。若调节系数存在，则满足方程=1，记为。下面主要说明如何确定使得存在并且达到最大。定理3.1 对于
35、盈余函数(3-l)，调节系数存在的充要条件为即 (3-4)证明 易知调节系数存在的充要条件为方程(3-5)有正跟=1 (3-5)考虑函数，易知，再由得因此(3-5)有正根的充要条件为，即 (3-6)又有=+= (3-7)定理证毕。由此可见当盈余函数(3-1)中所收的保费费率，满足相对安全负载的条件时，调节系数就会存在。我们可以用图像更加直观地说明定理3.1 的证明。见图3-1图3-1引理3.1 假设使得调节系数最大，记为，那么使得达到最小值，且=1。证明 是调节系数，因此易知=1，如果存在使，那么所对应的调节系数，因此引理3.1成立。定理3.2 如果使得调节系数最大值，那么满足方程组 (3-8
36、)证明 由引理3.1可知，只需证明若使得最小，那么满足以下的方程组由公式(3-1)可得= =因此若使得最小，那么最小。令=+ (3-9)+容易求的，因此当使得最小时，有进一步简化可得从上述证明过程中易知当再保险为比例再保险，即=0时，满足：当再保险为超额损失再保险，即=1时，满足：3.2 数值计算本节利用数值计算的方法，在调节系数达到最大情况下，对再保险几种方式的调节系数和参数进行比较。假设赔付额服从参数为1的指数分布，即，保险公司单位时间的费率为=1.2，=0.3，那么比例再保险，超出损失再保险，变换损失再保险方式下调节系数与关系分别如图3-2，3-3，3-4所示。 图3-2 比例再保险当调
37、节系数达到最大值时，可以得到：比例再保险：超额损失再保险：变换损失再保险：图 3-3 超出损失再保险图3-4 变换损失再保险根据上述数据可知，变换损失再保险的调节系数是最大的，也就是其对应的风险最小。3.3 本章小结 本章主要研究了采用调节系数准则时的最优再保险，给出了一种确定分保函数参数的计算方法，并对不同方式的再保险进行了比较，为保险公司选择再保险方案，提供一定的理论依据。第4章 CEV模型实例分析 第4章 CEV模型实例分析4.1 模型及方程为了追求更高的利润，在考虑规避风险的前提下，保险公司在进行再保险同时，还会将盈余进一步进行投资，主要的投资方向是金融市场。一般情况下金融市场中风险资
38、产价格用几何布朗运动(GBM)模型来模拟，然而相对而言常数弹性变差(CEV)模型具有更强的捕捉隐含波动性的倾斜度的能力，所以我们可以分析当投资者意识到含有波动性的倾斜度的斜随机波动模型时怎样去投资，另外CEV模型的分析更易处理。因此，我们可以在CEV模型的基础上，分析检验波动性的倾斜度对投资者的最优策略的影响。而且GBM模型还可以看作是CEV模型的一个特例，所以本章将讨论CEV模型在对应不同效用准则时的最优再保险及投资策略。4.1.1 CEV模型 假设保险公司的盈余过程是扩散风险模型，即=+其中，为常数，是标准布朗运动。假设时刻保险公司的比例再保险水平为，称为风险暴露。如果保险公司的风险暴露已
39、确定，那么保险公司支付每次索赔额的，而剩下的由再保险公司赔付，同时保险公司要支付部分保费给再保险公司，记为，为再保险公司单位时间的保费收入。在考虑比例再保险策略下，保险公司的财富盈余过程可以表示为=+假设可投资的金融市场有一个无风险资产(债券)和一个风险资产(股票)。无风险资产时刻的价格满足=风险资产时刻价格用常数弹性变差模型(constant elasticity of variance, CEV)来描述，即满足=+其中 ，是标准的布朗运动，并且假设与扩散模型中的布朗运动相互独立。假设在时刻保险公司投资到风险资产的资金占总资产的比例为，则投资于无风险资产的资金占总资产的比例为。记=，在任意时
40、间，投资和比例再保险策略=由保险公司来选择。当保险公司选择投资及再保险策略时，保险公司在时刻的财富过程可以表示为=+ (4-1) 一个策略称为是可行的，如果和是关于可预测的，并且和满足下面的条件：1) ，2) 所有的可行策略构成的集合记为。保险公司的目标是选取合适的策略=，使得保险公司在T时刻财富期望效用可以达到最大，即 (4-2)其中为保险公司选用的效用函数。4.1.2 HJB方程 定义目标函数为=， (4-3)显然有=根据第二章的随机控制理论，可以得到对应公式(4-3)的目标函数所满足的HJB方程为+化简整理可得 (4-4) 其中为目标函数对时间的一阶导数，分别为对股票价格的一阶和二阶导数
41、，分别为对财富的一阶和二阶导数， 为对股票价格和财富的二阶偏导数。假设保险公司是风险厌恶的，即，那么。令=+由，可得=由于比例再保险中，所以最优比例再保险策略为=由，可得最优投资策略为=当时，把和代入公式(4-4)，化简可得 (4-5)当时，把和代入公式(4-4)，化简可得 (4-6)4.2 指数效用函数对应的最优策略假设效用函数是指数效用函数，即其中为常数，该效用函数具有常数风险系数。由边界条件=，假设公式(4-4)具有如下形式的解：= (4-7)其中。4.2.1 最优策略及其值函数 由公式(4-7)易知=；=；=；=；=当时，代入公式(4-5)，整理可得上述方程可分解为 (4-8) (4-
42、9)由公式(4-8)及可得 (4-10)求解方程(4-9)，令=+由=0得边界条件，代入公式(4-9)可得因此有再由，以及公式(4-10)得 (4-11) (4-12)由此可知，当时，保险公司的最优策略为 (4-13) (4-14)最大期望财富效用为=其中分别由公式(4-10)，(4-11)和(4-12)决定。当时，用相同的方法，求解方程(4-6)，可得 (4-15) (4-16)对应的最大期望财富效用为= (4-17)其中 (4-18)由此我们可以达到下面定理定理4.1 当保险公司的财富过程为(4-1)时，在指数效用函数下i) 当时，使得保险公司的期望财富效用达到最大的最优再保险策略为使得保
43、险公司的期望财富效用达到最大的最优投资策略为此时，最大期望财富效用为=其中分别由公式(4-10)，(4-11)和(4-12)决定。ii) 当时，使得保险公司的期望财富效用达到最大的最优再保险策略为使得保险公司的期望财富效用达到最大的最优投资策略为此时，最大期望财富效用为=其中由公式(4-18)决定。4.2.2 数值计算及其经济分析下面研究各种参数对最优策略的影响1) 影响最优再保险策略的因素由定理4.1可知，风险暴露(即自留额)为由此可见：i) 风险暴露水平与再保险的费率成正比例关系，其随的增长而增长，直到=1。因为再保险的费率越大，公司采取比例再保险时的费用越高，所以保险公司的自留风险就越多
44、16,17。 ii) 风险暴露水平与无风险利率成指数衰减关系，其随着减小而增长，直到=1。无风险利率越小，公司越愿意承担风险，所以风险暴露水平就越高。iii) 风险暴露水平与指数效用函数的参数(即风险厌恶系数)成反比例关系，其随着的减小而增大，直到为=1。风险厌恶系数越大，保险公司的风险厌恶程度越高，因此保险公司自留风险就越少，分出风险越多。iiii) 风险暴露水平与成反比例关系，其随着减小而增大，直到为=1。代表着赔付大小的波动，越大，保险公司面临大额索赔的概率越大，保险公司公司为使风险控制在一定水平，应分出更多的风险，自留更少的风险。2) 影响最优投资策略的因素由定理4.1可知，最优投资策略为图4-1 与变差系数的关系假设 i) 取，由最优投资策略公式可以得到与风险资产的变差系数之间的关系如图4-1所示。由图4-1可以看出随着的增大而减小。因为变差系数越大，表示风险