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1、非线性受力性能与钢结构设计综述非线性受力性能与钢结构设计综述S.L.Chan摘要：框架可能是最常见的人造工程结构形式。它们主要是由一维构件组装成型。由于欧拉做的早期工作，工程师开始认识到受压构件的强度不仅取决于材料的屈服应力，同时也和材料的弹性模量有关。钢和其他金属材料由于他们相对细长的尺寸，使得考虑这种情况显得更加重要。从当前计算机时代的眼光，本文着眼于对过去的几十年中所进行的关于非线性分析和钢框架设计的工作做一个综述和总结。关键词：稳定性分析;高等分析;屈曲;结构设计;钢结构;非线形综合设计和分析1.引言早期的关于结构屈曲和稳定的工作主要集中在单个结构构件的受力状况上。布莱希 1，古地尔2
2、，弗拉索夫3和铁木辛柯和基尔4是研究一维构件的屈曲的学者们中具有代表性的人物。列挠度曲线的方法5，有限差分法6和有限积分7均曾被用于于求解柱和梁的平衡微分方程。瑞利 -里兹8法是基于能够正确的假定挠曲形状，因此这种方法也局限于那些可以准确的定义挠曲形状的简单问题。基于能量法，离散化的概念和功能强大的计算机的发明；有限元作为一种能够在线性和非线性范围内得到平衡条件的更通用和更强大的工具，在过去的几十年里获得了更多的关注。由Chen和Atsuta9写的这本优秀的书籍涵盖了数值计算方法的各个方面及在不同载荷和边界条件下的梁，柱的分析和设计。最近，Lindner10就主要用于德国和欧洲规范的构件设计的
3、近期研究工作做了一个总结。有限元方法的优势主要在于其在分配单元属性，施加边界条件和施加载荷方面具有的灵活性。因此有限元程序可以被应用于非常广泛的问题。由于对三次形式的梁单元的平衡微分方程的解法，一些研究学者并不把三次Hermite单元作为一种典型的有限元。因为典型的有限元通常是以单元离散方式求得近似解。因此，线性框架分析方法有时也被称为矩阵分析方法。然而，当一个构件受一个轴心力作用时，三次Hermite单元不再是个有效解，并且，需要更多的单元来近似描述柱子的屈曲形状。本文主要就以下两个方面做一个综述：非线性分析的发展，技术及其理论背景；有实际的工程应用背景的钢结构框架体系的设计。2.非线性分析
4、的常用类型非线性分析可以被定义为一种不能使用线性外插法求应力、载荷和挠度的分析。在图1中总结了几种有代表性的非线性分析类型。这些方法均有其各自的优点和局限性。随着计算机性能的提高，现在这里面的一些方法并不太被工程师所用。然而，它们在运用于实际工程结构的稳定理论的发展过程中具有重要的地位。它们理应得到详细的阐述。3.分岔分析分岔分析是非线性分析中最简单的模型。分岔分析假设结构在初始路径下平衡，然后突然分岔进入另一种稳定平衡路径，最后在该路径下发生失稳破坏。此种类型是通过在图1中显示的特征方程来求解。该特征方程如下： (1)式中：为线性刚度矩阵，为荷载系数，为几何刚度矩阵图1：框架结构的一般分析类
5、型在这种特征值分析中，屈曲前的变形，初始缺陷，材料屈服均被忽略。这种分析是问题的上限解。即使对于诸如钢脚手架这类非常细长的结构，此种方法用于直接实用设计也不够准确11,12。然而，它的解法很简单并且能够很容易的被考虑进振动分析软件。而且，它能够被用于计算有效长度系数13。4.刚塑性分析一种相反的分析类型就是刚性塑性分析。刚性塑性分析仅仅考虑了材料屈服和塑性铰；失稳和大变形则被完全的忽略了。它仅能用于几何非线性可忽略的框架，否则就应该考虑额外的修正。对于大多数的临界失稳，这种令外力所做的功和内部应变能相等的方法能够被用于确定引发失稳的荷载系数。图1也总结了这种方法。公式如下所示： (2)式中：为
6、外力，为共轭位移，为j处的塑性弯矩，为共轭转角.在手工计算时，临界值的求解还是一个非常复杂的过程。由Heyman14和Neal15所写的书中对于这种塑性分析设计的方法作了详细的介绍。计算机的应用则显著的简化了这个过程。最简单的方法就是施加设计荷载并且绘制弯矩图。这样，可算出所有框架节点在任何部位的弯矩比例，从而得出最大比率。通过此比率即可形成第一个塑性铰，然后把此塑性铰作为节点加入到原有节点中去，随后再对加有第一个塑性铰的新结构重复上述过程，从而形成更多的塑性铰，最后直至形成破坏机构，其表达式为：（3）式中：为增量荷载因子，为节点“j”处的塑性弯矩，为在当前塑性阶段的弯矩。5.考虑屈曲和塑性铰
7、的经验破坏分析Merchant16通过使用一种简单且非常流行的Merchant-Rankine方程以考虑了材料屈服和屈曲的影响。该方程是通过弹性屈曲推导出来的。塑性破坏荷载系数如下：（4）式中：、分别代表破坏、塑性、弹性屈曲荷载系数这一方法并没有考虑大变形以及初始缺陷的影响，而且也不能计算出在各种荷载阶段的变形，因此，应用起来也并不是很方便。6.考虑几何非线性的力学分析模型为确定非分岔方法的平衡路径，除了在等式（1）中的线性刚度矩阵和几何刚度矩阵，还需要更多更复杂的的公式。这涉及到如何描述一个大变形单元（这些单元由完全拉格朗日函数、更改的拉格朗日函数及共旋方法）的运动。基于Barsoum和Ga
8、llagher20提出的三次Hermite位移方程、Majid21提出的稳定方程、Shi和Atluri22提出的弱形式方程、在离散点处满足平衡的自平衡单元以及Chan和Zhou提出的一种单元23，构件的初应力能够被考虑进几何刚度矩阵。其中的一些方程是直接根据平衡方程21,23得来的，其他的则是根据能量原理得来的。框架的大变形及弹性分析的早期工作主要是由Williams24，Jennings25，Powell26，Connor et al27，Rajasekaran和Murray28等人完成的。Hancock29仅使用了割线刚度对I型截面进行大变形分析。这些工作都是基于对钢材料有效的大变形小应变
9、假定。他们也通常假定三维空间的转动是矢量化的以便于计算。Argyris和Doltsinis30提出了一种对实体梁柱的自然公式。该公式验证了在节点处的非保守的自然弯矩。Yang和McGuire31简化了这种方法并且将其应用到框架结构的几何非线性分析中。Chan和Kitipornchai32推导出了线性刚度矩阵和几何刚度矩阵并且对允许翘曲和双力矩存在的开口截面进行了大变形分岔分析。Prokic33建立了一种考虑自由翘曲的单元。然而，即使对于最简单的框架，考虑翘曲和双力矩的非线性框架分析还不能用于实际的工程使用中。Oran19通过在单元末端刚性附加节点方向矩阵的方法以处理在三维空间的非矢量旋转特性。
10、构件的弹性旋转能够通过构件和节点方向轴的点积确定。Chan34通过使用增量割线刚度法以避免在三维空间的无累积旋转局限性。然而，在大部分实际结构中，这种局限性通常不重要，因为破坏通常在达到这种大转动前已经破坏了。这种转动的极限通常取为15。7.过屈曲分析大变形的屈曲前分析的延伸就是确定过屈曲平衡路径。总所周知，荷载控制的New-Raphson法35在极值点附近发散。在极值点附近减少迭代是一种可行的方法，但是使用起来并不方便，会产生一种未知的错误并且增加计算的复杂度。Batoz和Dhatt36发明了一种通过在具体的自由度上用位移增量代替荷载增量，以便于控制平衡路径发展的方法。同时，不像有争议的弹簧
11、法37、或者Riks38提出的弧长法的原始形式，这一方法并不会破坏切线刚度矩阵的对称性。就计算效率来说，破坏切线刚度矩阵的对称性是我们尤其不愿意看到的。因为刚度矩阵的对称性能够明显减少计算时间和存储空间。不幸的是，当处理弹性回跳问题时，这一位移方法会失效。这种情况在某种程度上和荷载控制法在极值点处失效类似。为了确定以轴力为主的构件的过屈曲路径，Ramm39和Crisfeild40在1980年独立发展了弧长法。他们通过使用基于位移范数的弧距来控制平衡路径的发展。Meek，Tan41和Chan,Kitipornchai42使用弧长法来确定弹性和非弹性框架的过屈曲平衡路径。通过使用一种迭代程序来最小
12、化错误，而不是满足弧距，Chan43之后采用了一种简单的技术来最小化基于位移范数平衡路径错误。正如Clarke和Hnancock44指出的那样，这一方法更加合理并且实施起来和弧长法效果一样好。这一方法的实现也更加简单，因为不像弧长法那样，不需要求解二次等式，因此避免了实根不存在的情况。对于二阶分析或者大变形分析的一个重要考虑就是单元刚度的准确性。Task Committee45在一份报告中给出了根据有效长度，利用稳定方程和三次Hermite单元得到的几何刚度矩阵的表达式。尽管三次Hermite单元能够给出基于线性行为假定下，受节点力矩作用的梁的平衡微分方程的精确解。并且一个构件对应一个单元对于
13、框架的线性分析也是足够的。然而，对于有轴力存在的梁柱的平衡方程表明三次函数式不够的，并且，对于轴力为拉力和压力两种情况，位移形状的三角函数形式也不一样。使用三次Hermite函数造成的误差非常大。比如：对于一端固定、一端铰接的柱子，屈曲问题能够被简化为单自由度问题。使用广度几何刚度矩阵45求解将会导致49%的偏差。因此，当在一个构件中的轴力大于40%的欧拉屈曲荷载时，一个不可接受的误差将会出现。对于结构工程的研究人员来说的一个挑战就是构造出一种单元。这种单元能够在建模时表示单独一个构件。这个目的是为了让一种线性分析模型能够不需要做另外的模型细化就能够立即用于二阶非线性分析。当考虑一位实际工程师
14、在他使用软件进行非线性分析的早期阶段，他很有可能在他进行二阶非线性分析前，先对他的模型进行线性分析。因此，如果我们真想让非线性分析被广大工程技术人员接受，得到充分使用，我们必须允许模型既能用于线性分析也能用于非线性分析。然而，虽然三次Hermite单元在这方面有缺陷，被许多研究者使用的稳定方程的形式也不满足要求，通常，由忽略了轴力和弯曲之间的耦合关系的稳定方程推导出的刚度矩阵表明，对单个构件来说，弯曲影响可以忽略。这是不可接受的，因为稳定方程的使用是为了单个单元的精度，并且，如此忽略这种耦合影响将会使单元刚度的精度退化到和三次Hermite单元一个水平。一些研究者使用三次单元或者其他单元来确定
15、扁拱或者双杆模型框架的平衡路径。他们声称对于屈曲分析，这种单元是足够满足精度要求的。这种校核是无效的，因为，在这些被选择的例子中，单元刚度并不是在以轴力为主的情况下得到的。通过使用Zienkiewicz46的术语，几何非线性分析能够被增量分析表述如下：（5）式中：为增量力，为位移矢量，为大变形矩阵最后一个矩阵考虑了大位移的影响，第二个矩阵考虑了初始应力的影响。大变形问题的应用仅仅能够验证的准确性，但是不是必要的。大位移矩阵的影响能够通过节点坐标修正过程被加入到分析过程中。诸如欧拉方程、完全拉格朗日方程、更正拉格朗日方程这类运动方程能够被用于描述涉及共旋的大变形单元的运动，未变形的修改坐标系，并
16、且这会导致各种形式的完全增量平衡方程。The和Clarke47研究过共旋拉格朗日弹性方程和三维梁单元的优点和不足。为了在建模时重点考虑大位移的影响，Albermani和Kitipornchai48发明了一种用于最小单元的方程。为了在弹性范围内达到对一个构件一个单元进行二阶分析，Izzudin和Elnashai49发明了一种更高阶的四次单元。Shi和Atluri22通过使用虚功原理推导出了细长杆件的切线刚度矩阵的显式形式。他们的表达公式22是准确的，并且对于分析在轴力为主的柔性框架的屈曲，一个构件一个单元是足够满足精度要求的。通过改变两单元相连的弹簧刚度，他们的方法亦可以考虑材料屈服和半刚性连接
17、。这里应该指出的是，单元方程的检查必须是针对以轴力为主的结构，否则单元的精度不能得到保证。Chan和Zhou23建立了一种能够在各种边界条件下准确估计柱子弹性屈曲荷载的单元。根据他们的方程可以推导出一种基于位移和离散平衡的有限单元。他们更进一步指出了Meek和Tan41用六边形单元确定框架的跳跃平衡路径产生的错误并不是由于旋转的矢量化假定，而是由于三次单元的精度不够。最近，Neuenhofer和Filippou50采用一种有二到四个高斯节点的基于弹性的单元来确定柔性框架的平衡路径。所有的这些工作都显示了在高效和准确对以轴力为主的柔性框架的二次分析中，单元刚度的准确的重要性。除非在单个构件的建模
18、过程中划分两个或者更多的单元，否则三次Hermite单元在这方面是不满足要求的。对于细化的高级单元22,23，他们的有效性只能局限于连接两个末端节点的单元和末端节点的正切之间具有非常大的转动。然而这种情况在实际工程中极难出现。所有的实际构件都具有初始缺陷。比如英国 51和澳大利亚 52等规范标准要求：在使用Perry Robertson方程确定屈曲强度时，0.1%的构件长度的初始缺陷应该被考虑。有趣的是，在这方面的研究相对较少。这表明除非采用了其它的补救措施，上述建议的单元在实际使用中是不满足精度要求的。这包括在使用节段方法建模中使用的几种单元和直接使用的曲线单元53,54。Chan和Zhou
19、55扩展了他们的单元以考虑初始缺陷和弯曲的影响。在他们的公式中使用了完善直杆单元的初始弯曲形状。Chan和Gu56更进一步从稳定方程中修正了刚度矩阵，使单元能够考虑初始缺陷的影响。通过使用这些“一单元一构件”的单元，能够得到屈曲强度曲线。并且得到的结果与规范假定一个合适初始缺陷值，所得到的设计强度曲线很符合。一种明显的，可替代的，并且被广为使用的方法就是充分利用一个简化的二阶框架分析程序，或者其他的直接计算有效长度的分析技术。这种方法也被诸如Yura57,Duan和Chen58,Lui59等许多研究人员使用。一旦估计了一个准确的有效长度，柱子的屈曲强度就能够通过屈曲曲线得到。然而，这种方法可能
20、不便于使用，尤其是在当一个变截面柱子受到一个变化的轴力作用时。因为，在这种情况下，钢结构建筑的立柱支撑的梁处于不同的楼层。最重要的是，这种方法并没有考虑结构刚度的变化会导致画出的内力图和弯矩图不正确。举个例子：由于杆件在受拉和受压情况下广度的变化，交叉支撑的受压杆件并没有承受太大的荷载，大部分荷载都是由受拉杆件承受。使用特征值分析能够给我们一个完整结构的屈曲荷载系数，但是，它并没有提供单个构件设计的可靠资料。这是一个严重的不足，并且并不满足有效二阶高级分析的要求。非线性整体分析和设计（MIDA）要求考虑在不同数量级大小的轴力作用下刚度的变化。大变形分析所必须的工具已经得到了极好的发展。通过使用
21、电脑，在今天的设计工作室也能够高效率的进行这类分析。为了确定直到最后破坏的完整平衡路径，自然需要将这种方法扩展到非弹性分析。许多的非线性分析研究就是为了能在实际结构中施行这种设计技术。这种方法的重要特征就是合理的考虑一个实际钢结构实际特征，比如：残余应力，构件和框架的初始缺陷，倾斜，由于轴向力造成的单元刚度的变化。当所有的这些影响均被考虑进分析过程中时，我们就能够跳过人工构件承载力校核，仅仅需要进行截面承载力校核。在第一个塑性铰形成后的保留强度能够被利用。这种方法不需要假定有效长度，这将使设计更加经济安全。高等分析被认为是这样的设计方法。这种分析是考虑了实际结构各种特征的真实的极限分析。研究人
22、员通常使用的两种考虑二阶非弹性的高等分析方法是塑性铰法和塑性区法。8.塑性区法塑性区法假定屈服沿着单元分布在横截面上。这一概念已经被Vogel60,Chan61和Clarke62在内的许多研究人员使用。这一方法的实质能够被表述为以下的增量平衡方程，亦可参见图1。（6）式中：为考虑了考虑材料屈服的弹塑性刚度矩阵。上面的增量刚度等式和二阶弹性方法不同。上面的式子用弹塑性刚度矩阵代替线性刚度矩阵。在等式（5）中，通过一种整体数值方法确定单元屈服刚度。9.塑性铰法在塑性铰法中，屈服集中在一小块区域，这一区域用柔性弹簧模拟。当屈服未发生时，弹簧刚度无穷大，然而，当塑性弯矩承载力达到时，弹簧刚度趋向于零。
23、 这一过程在概念上能够通过在增量平衡方程中加入柔性弹簧刚度来考虑。新的增量平衡方程如下，亦可参见图1。（7）式中：是模拟的塑性铰的弹簧刚度。当弹簧刚度是无穷大时，它对刚度方程（7）没有影响。当弹簧刚度由于材料屈服消失时，方程（7）表明在关联的自由度上刚度减小了甚至消失了。这在某种意义上确定了塑性倒塌荷载。有鉴于此，这儿的线性单元刚度并没有考虑材料屈服，因此这儿的和在等式（3）中二阶弹性分析的是一样的。屈服在塑性铰模型中仅仅在等式（7）中弹簧单元刚度中考虑。Powell和Chen63,King64,Chen和Chan65在确定结构的平衡路径时采用了这种方法并且在绝大多数问题，但不是全部问题中，他
24、们的结果和塑性区法求出的结果很吻合。当塑性沿着构件的扩展相当均匀时，集中塑性铰的方法可能不能真实的反映构件的受力情况。然而，这一方法用于实际工程还是足够精确的。Vogel60用一个更加细化的塑性区分析方法分析了计算机输出的校准基准的例子。Toma和Chan66总结了几个标准框架来校核根据塑性区原理对钢结构框架进行非弹性高级分析的计算软件的准确性。然而，这项工作大部分集中在要么半刚性框架的弹性分析，要么刚性结点框架的弹塑性分析。Yau和Chan67拓展了这种方法并且发展了一种有效地数值方法。这种方法能够对钢框架进行简单的塑性铰效果分析和半刚性连接分析。他们的工作在处理材料屈服非线性，半刚性连接及
25、在这方面的早期研究问题是简单稳妥的。半刚性连接的分类已经被诸如LRFD68等一些规范所采用。这方面的工作在对半刚性框架进行这种类型的高等分析时提供了一种可能的数值工具。Chan和Chui69在考虑了塑性区的滞回曲线的情况下，详细介绍了在静载和动载情况下对结构进行这种分析的技术。从已经完成的例子来看，他们的研究成果能够被很好的用在动荷载或循环荷载作用下的结构设计。最近，Chan等人70研究了在非比例加载下钢框架的受力情况。通常认为这种加载条件和被广泛假定的比例加载条件具有显著的不同。这儿必须提到的很重要的一点就是：一些在各国规范中被提到的考虑了屈服函数的单元是不能够进行有效的二阶高级分析的。因为
26、它们的刚度在受压或受拉下是不准确的。这回导致画出的剪力图和弯矩图不正确，进而导致任何使用这种数据结果进行的设计都是不准确的。举个例子：在设计交叉支撑时，和受拉杆件相比，受压杆件分担的荷载很小。运用线性分析计算受压杆件时，将会分给其一半的横向水平荷载。基于这种分析做出的设计因此也是错误的。一种不够精确的二阶分析也可能导致类似的不正确的输出结果，可能结果的误差会小一些。虽然一个有经验的工程师在设计时会很明智的忽略受压杆件并且假定横向水平荷载完全由受拉杆件承担。但是这一般是一种不够经济的设计方法。尤其是在受压杆件是中等长细比时。当然，当设计大型复杂结构时，这种方法使用起来也很繁琐。一般来说，塑性区分
27、析需要将一个区域进行网格划分、讲一个构件分成许多单元以模拟塑性扩散的影响。这一方法比塑性铰方法更精确但同时也需要更长的计算时间。电脑技术的发展已经能够允许对框架进行更加精细的分析。Izzuddin和Elnashai49在被发现已经屈服的区域采用一种自适应网格划分的方法细化单元，同时在未屈服的区域采用弹性单元。Corradi、Poggi71和Feng等72运用不同精度的数值积分法来模拟梁柱间横截面的材料特性。这一概念相当简单有效。因为单元矩阵通常都是由显式积分过程得到了。在他们的论文中，将显式积分过程转化为数值积分过程。对于典型框架，这一方法在建模时仅仅需要一个构件一个单元，不需要将一个构件分成
28、许多单元。由于工程人员需要遵守设计规范，他们的这一分析技术不能够用于实际设计。规范规定必须考虑各种控制参数，诸如：构件初始缺陷、框架弯曲、半刚性连接、残余应力、支座移动等。AS410052是最早给出这类建议的规范。关于二阶高级分析的设计应用的讨论和总结综述已经有许多研究人员做了。比如：Clarke等人73,White74。Chan和Zhou75，Deierlein76,Nethercot77,Springfield78,79从设计从业者的角度介绍了二阶分析的使用。这对于那些研究实际设计软件的研究者来说很有价值。最近，Chen80补充了他的分析方法以用于实际结构，并且介绍了一种更加使用可接受的设
29、计方法：NIDA法。NIDA法是一种不需要使用有效长度概念进行框架强度承载能力设计的方法，这一方法局限于第一塑性铰的形成这一阶段。这一简单而保守的方法在笔者的国家非常流行。的确，NIDA法在仅需进行截面承载力校核方面和极限承载力高等分析很类似。但是，为了满足当前的实际通用规范的要求，这一方法局限于第一塑性铰的形成或者首次屈曲时。任何其他的直接或者间接计算有效长度的方法因此均不属于这一范围内。因此，自动查找柱子设计所需的有效长度的二阶弹性或分岔分析方法也不属于这一分类。他更充分利用这种直观方法，将这一分析技术用于一栋1300吨的钢框架80的设计及其他的空间桁架。由于不需要假定有效长度，设计能够更
30、加经济安全，因为，一般而言，一些构件的有效长度被过高的估计了、其他的一些又被低估了。设计时间也极大的减少了，因为设计人员并不需要单独的分析计算每个构件的有效长度。然而，他的分析仍然是基于第一塑性铰方法，原则上，这仍然是一种弹性分析。弹性分析方法由于忽略了第一次屈曲或者第一塑性铰之后结构的屈曲后强度，被认为是一种不够经济的设计方法。而且，屈曲后的有效长度和弹性时的值可能不一样。尽管这一方法已经被拓展到弹塑性大变形破坏分析，这一方法仍然受限于缺少合适的设计规范。并且对于复杂框架结构的应力重分布仍然未确定，这还需要更进一步的研究，试验验证和讨论。在计算上，这已经不是一个困难的工作。对于大型复杂结构进
31、行稳定和可靠度分析的方法已经基本上由许多研究人员建立起来了。10.结论在过去几十年里已经对二阶高等分析和整体非线性设计分析的理论，数值方法和规范拓展进行了广泛的相关工作。尽管考虑形成一系列塑性铰的破坏分析能够用于实践，在实际工程中二阶高等分析和设计仍然主要局限于第一塑性铰形成这一阶段。这可能是由于各国规范标准、对于不同的结构形式使用不同参数的设计指南缺乏对这种分析进行明确的推荐，并且，工程人员对于高等分析的非线性结构理论缺乏相关的学习。但是，使用NIDA能够避免在实际结构设计中假定有效长度，这将实质性的提高效率，经济性，安全和可靠度。随着这些技术的发展及高性能计算机的普及，在将来的设计工作室利
32、用这些复杂的技术是很有可能的。然而，未来的工作仍然需要将这种设计方法延伸用于实际结构，以便能够在设计规范和实际使用的设计指南中考虑各种非线性因素。11.参考文献简介参考文献9是一篇对于梁柱和框架体系给出了经典数值分析方法的具有开拓性的文章。参考文献44是一篇极有价值的文章。文章中比较并总结了确定极值点的各种数值方法的优点和不足。参考文献50通过使用一种非常规的弹性方法，推导出了一种具有开创性的有效单元列式。参考文献55是第一篇推导出了这样一种有效单元的文献。这种能够用一个单元表示一个受轴力为主的构件的单元也能够考虑在设计规范标准中被强制考虑、同时在实际构件中也不可避免存在的构件初始缺陷。由Ki
33、ng，White，Chen在参考文献64中提出的简单塑性铰方法，为想进行高等分析设计的人提供了一种简单有效的分析工具。参考文献66也是一篇杰出的文章。该文对各种各样的支架进行了考虑大位移和塑性铰的高等分析。参考文献74给出了一种适合钢框架的实用塑性铰设计方法。在参考文献62中，Clarke为准确的研究部分屈曲钢框架的受力情况使用的塑性区方法非常有效。在参考文献48中，Albermani和Kitipornchai对钢框架进行了弹塑性和大变形的细化分析。参考文献77对于各国的非线性框架分析和设计的研究工作给出了一个详细的介绍。参考文献73是由悉尼大学的研究小组所写的关于高等分析的一篇好文章。该文极
34、大的促进了在澳大利亚规范4100中首次涉及高等分析的相关条文的产生。致谢作者非常感谢香港特区政府在“钢结构设计中的静力和动力高等分析” （B-Q193）研究课题中所给予的财政支持。参考文献：1 Bleich F. Buckling strength of metal structures. New York: McGraw-Hill, 1952.2 Goodier JN. Torsional and flexural buckling of bars of thin-walled open section under compressive and bending loads. J Appl
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