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1、鄂南高中2011届数学模拟题（5）一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线的焦点坐标是：. . . .2. 三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为ABCD3函数的最小正周期为,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线对称 D.关于直线对称4已知的最小值是2, 则A. B.2 C.3 D.45. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图像如图所示，且，那么A是的极大值点B=是的极小值点C不是极值点D是极值点
2、6设为内一点，若，有，则的形状一定是 A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定7已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是A. B. C. D. 8已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为A B C D9已知函数满足：定义域为R；，有；当时，则方程在区间内的解个数是 A20 B12 C11D10图1图2图310下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，
3、则的象就是，记作 则下列命题中正确的是A B是奇函数C在其定义域上单调递增 D的图象关于轴对称二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为_.12.“三角形的三条中线交于一点,且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”.试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点,且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍.13已知函数，则= （用含有的代数式表示，其中）14设函数,若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 15当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数如N (3) = 3，N (10
4、) = 5，记则（1） ；（2） 三解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写演算步骤）16（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间(1)求的分布列；(2)求的数学期望OBCAP（第17题图）17(本小题满分12分) 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处
5、建造一个变电站记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设，求y关于的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？18（本小题满分12分）如图，在长方体中，分别是棱，上的点，.()求异面直线与所成角的余弦值：()证明平面；() 求二面角的正弦值. 19. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，、分别是椭圆的左、右两个顶点，为椭圆上的一个动点.（）求椭圆的标准方程；（）若与、均不重合，设直线与的斜率分别为、，证明：为定值；（）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 20.(本小题满分13分)设函数yf
6、(x)的定义域为(0，)，且在(0，)上单调递增，若对任意x、y(0，)都有：f(xy)f(x)f(y)成立，数列an满足：a1f(1)1，f()f()0. 设Sn.（1）求数列an的通项公式，并求Sn关于n的表达式；（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(xy)g(x)g(y)2xy，若g(1)1，正项数列bn满足： g()，Tn为数列bn的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.21.(本小题满分14分)已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是
7、否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.参考答案（5）ADCBB,BDBCCyx1234512409.【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作出函数和的图象如右图，由图易知，与的图象在有两个交点，在内有9个交点，故方程在区间内共有11个解11.4 12.3 13. 14. （7，）【解析】由题设知， 即或,且恒过定点当时，如上左图，则；当时，如上右图， 又，显然不成立综上知，的取值范围为 15. 86 ；【解析】由题设知，（1）（2），16. 解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6，所以的分布列为：1346P（2
8、）（小时）17.解:（1）在中，所以=OA=，,由题意知，. 2分来所以点P到A,B,C的距离之和为. 故所求函数关系式为. 6分（2）由（1）得，令,即，又，从而.当时，；当时, 所以当 时，取得最小值， 10分此时（km），即点P在OA上距O点km处答：变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小 12分18. （1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设A
9、C与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为。19.解：（）由题意可得圆的方程为，直线与圆相切，即， -1分又，即，解得， 所以椭圆方程为 -3分（）设， ，则，即， 则， -4分即， 为定值 -6分（
10、）设，其中由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中 -8分当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；-9分当时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆 -12分20.解：(1)当x，y(0，)时，有f(xy)f(x)f(y)，令xy1得f(1)2f(1)，得f(1)0，所以a1f(1)11.(1分)因为f()f()0，所以f()0f(1).又因为yf(x)在(0，)上是单调增函数，所以1，即4，(3分)所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列
11、，所以4n3，所以an .aa，Sn1.(5分)(2)由于任意x，yR都有g(xy)g(x)g(y)2xy，则g(2x)2g(x)2x2，g(1)2g()2()222g()2()222g()222g()2()223g()2ng()1，g()，即b，又bn0，bn，(9分)【（法二）令得，】Tn1，又4Sn1.当n1,2,3,4时，4n12n，4SnTn；(10分)当n5时，2nCCCCC12n21n2n.而n2n1(4n1)n23nn(n3)0，故4SnTn.(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.解:（1）由题意可得， 2分于是若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且成立.令,，则，所以在单调递减，,，即，于是在恒成立;又成立故存在最小的正整数，使是为上的“阶收缩函数” 6分（2）,令得或.令，解得或3. 函数,的变化情况如下：020004 8分）时，在上单调递增，因此，.因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立.即：对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需. 10分即：存在，使得成立.由得：或，所以，需且只需.综合可得：. 12分）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：，可得 ，此时，不成立. 综合）可得：. 14分注：在）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.