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1、鄂南高中2011届数学模拟试题（6）一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数（i是虚数单位）,是的共轭复数,则=A.1 B.0 C.D.22. “”是“对任意的正数,恒成立”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设F1、F2是双曲线y2=1的两个焦点，点P在双曲线上,且=0,则|的值等于A.2B.2C.4D.84. 已知的最小值是2,则A. B.2 C.3 D.45. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,已知圆柱中液面上
2、升的速度是一个常量,是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是tHO3tHO3tHO3tHO3ABCDH6. 对于数列,若存在常数,使得对任意,与中至少有一个不小于,则记作,那么下列命题正确的是 A若,则数列各项均大于或等于 B若,则C若,则 D若,则7. 已知直线与圆及抛物线的四个交点从上到下依次为四点,则=A.12 B.14 C.16 D.188. 已知函数,下列结论错误的是A.,0B.,C.,D.,9设向量，且A、B、C分别是ABC的三个内角，若，则A=ABCD10函数满足：对一切当=ABCD二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、若，对于
3、任何，都有，且，设 表示整数的个位数字，则 .12. 设若则的最大值为 .13已知平面内一区域，命题甲：点；命题乙：点如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是 14设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为 15. 若曲线（或）在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为该曲线的自公切线. 下列方程的曲线存在自公切线的序号为 .； ； ； 三解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写演算步骤）16(本小题满分12分)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，（1）求角A、B、C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积17(本小题满分12分)
4、如图，一个小球从处投入,通过管道自上而下落到或或.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，则分别设为等奖.(1)求投入小球次获得等奖的概率；(2)已知获得等奖的折扣率分别为.记随机变量为获得等奖的折扣率.求随机变量的分布列及数学期望；(3)若有人次(投入球为人次)参加促销活动，记随机变量为获得等奖或等奖的人次，求. 18.（本小题满分12）已知四棱锥的底面为直角梯形, 底面,且, 是的中点.ABCDPM(1)求AC与PB所成的角的余弦值；(2)求二面角PACM的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点N,使DN平面AMC,若存在,确定
5、点N位置；若不存在,说明理由.19. (本小题满分12分)已知椭圆（）的离心率为,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,求直线的方程.20.(本小题满分13分) 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当1时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数同时满足条件： 对于任意；对任意 （I）证明：上的单调增函数； （II）求的值； （III）令参考答案（6）AAABC,DBDCA 112 121 132 14 15.7. 把代入得 8. （1）是增函数，A真；
6、（2）令，它可视为上的点与原点连线的斜率，由图像知B真； （3）令，在，,使得，C真； （4）是凸函数，D错。10. ,T=2，=11. 由12. ，14. ，设，则16.（1）由知，所以，又得，即，解得，（舍）故， 6分（2）在ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在ABM中，由余弦定理得， 即 8分在ABC中，由正弦定理得 即 10分由解得故 12分17.解析:(1)投入小球次获得等奖的概率为. -4(2)由题意得的分布列为50%70%90%则-8(3)由(2)可知,获得等奖或等奖的概率为由题意得,则. -1218.（1）如图,过作,且,连结CE、AE,则即为AC与PB所成的角,由已知可
7、得， （4分）ABCDPMNH（2）取中点连MN,则MNBC,MN平面PAC.取AC中点H,连NH,MH,则NHAC,MHAC,即为二面角P-AC-M的平面角由ABCDPMFGN,.（8分）（3）存在,PC中点N即为所求连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、FM,则DGFM,又平面,平面,平面,连DN,则GNMC,同理可证平面,又,平面DGN平面AMC,DN平面AMC （12分）19.解：（1）短轴长,（1分）又,所以,所以椭圆的方程为（4分）（2）设直线的方程为,由,消去得, （6分）,，即（8分）,即 （10分）,解得,经检验,符合题意,方程为,(12分）20.解：（1）当时,切线方程为 (4分)（2）方法一1, (5分)设,则, (7分)设,则, (9分)在上为增函数,在上为增函数, (12分)方法二,设, (6分)0,0,在上为增函数,.(8分)又0恒成立,0,在上为增函数, (11分)此时0恒成立, (12分)21.（1）由条件得，当时，有，上的单调增函数。 (2分)（2）由条件得，若，则矛盾；若，则，满足条件；若，则，矛盾. ，又，。 (6分)（3）猜想.下面用数学归纳法证明：时，由结论（2）知，成立.假设时，猜想成立，即，即，时，猜想也成立综合知，时猜想成立。 (10分)【（法二）：，又，】 (12分)又时， (14分)模拟试题（6）-第5页