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1、专题一:雅可比矩阵Topic1:Jocobi Matrix雅可比矩阵 Jocobi Matrix函数 f :Rm Rn,f(x)=(f 1(x),f 2(x),f n(x)T,下面矩阵称为雅可比矩阵。mnnnmmmjnijixfxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111.2,1.2,1雅可比矩阵 Jocobi Matrix 效用函数为 u(x1,x2,xn)价格向量 p=(p1,p2,pn)T x=(x1,x2,xn)T 收入 y,在均衡状态下：yxpxppxupxupxunnnn112211000雅可比矩阵 Jocobi Matrix0);(0);(0);(0);(121y
2、pxypxypxypxnnyxpxppxupxupxunnnn112211000雅可比矩阵 Jocobi Matrixyppxxyppxxnnnnnnnnnn1111111111111111雅可比矩阵 Jocobi Matrix0);(0);(0);(0);(121ypxypxypxypxnnyxpxppxupxupxunnnn112211000雅可比矩阵 Jocobi Matrix010000112212112212nnnnnnxxpppxuxxupxxuxu海森矩阵 Hessian Matrix221212212)(nnnxfxxfxxfxfxHf隐函数定理 Implicit Functi
3、on如果 (1)函数F(x,y)在(x0,y0)附近连续，(2)偏导数Fx(x,y)和Fy(x,y)存在且连续，(3)F(x0,y0)0，(4)Fy(x0,y0)0，则 F(x,y)0唯一确定一个隐函数 y=f(x),使得 隐函数定理 Implicit Function F(x,f(x)0，且f(x0)y0 f(x)连续，f(x)有连续导数且 ),(),()(yxFyxFxfyx隐函数函数 f :Rm Rn,mn f(x)=(f 1(x),f 2(x),f n(x)T,如果 f 是线性函数，该系统表现为：nmnnmnmnyxxxxfyxxxxfyxxxxf),(),(),(2122121211
4、隐函数或Ax=y,如果A的秩是n，可以得到：nmnmnnmmmmyxaxaxayxaxaxayxaxaxa22112222212111212111隐函数),;,(),;,(),;,(1111221111nmnnnnmnnmnyyxxgxyyxxgxyyxxgx推广隐函数定理 隐函数定理：如果 mn，函数 f 可微，雅可比矩阵的秩为n,则存在n个可微函数使得，),;,(),;,(),;,(1111221111nmnnnnmnnmnyyxxgxyyxxgxyyxxgx需求函数的存在性 在前面效用函数的例子中，把价格和收入作为给定变量，则雅可比行列式为012212112212nnnnnpppxuxx
5、upxxuxu需求函数的存在性 如果假设效用函数符合边际效用递减的性质，可以证明雅可比矩阵秩为n+1，根据隐函数定理，可以表示为价格和收入的函数。),(21nxxx);,();,();,(1122111yppdxyppdxyppdxnnnnn要素需求函数的存在性 生产函数为 f(x1,x2,xn)生产要素价格向量 w=(w1,w2,wn)T 给定成本 c,cxwxwwxfwxfwxfnnnn112211000要素需求函数的存在性 则雅可比行列式为012212112212nnnnnwwwxfxxfwxxfxf要素需求函数的存在性 如果函数f的海森矩阵非奇异，可以证明上述雅可比矩阵也非奇异，根据隐
6、函数定理，可以表示为价格和成本的函数。),(21nxxx);,();,();,(1122111cwwdxcwwdxcwwdxnnnnn反函数 Inverse Function 当n=m，如果存在g 使得 g称为 f 的反函数 如果雅可比矩阵秩为n，则反函数存在),(),(),(1122111nnnnnyygxyygxyygxnnnnnyxxxfyxxxfyxxxf),(),(),(2122121211专题二:凹函数、凸函数Topic2:Concave and Convex Function回顾：凹函数 Concave 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1),有 f(x1 (1-)x2
7、)f(x1)(1-)f(x2)ABC凹函数另一定义 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f(x2)f(x1)f(x1)(x2 x1)AC1x1x2回顾：凸函数 Convex 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1),有 f(x1 (1-)x2)f(x1)(1-)f(x2)ABC凸函数另一定义 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f(x2)f(x1)f(x1)(x2 x1)ABC函数凹凸性与海森矩阵 如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函数 f 的海森矩阵半正定，函数 f 是凸函数；如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函数 f 的海森矩阵半负定，函数 f 是凹函数；如果一个函
8、数 f 的海森矩阵负（正）定，函数 f 是严格凹（凸）函数。但是，反之不成立。严格凹函数的海森矩阵在某些点可能是奇异的。函数的严格凹（凸）文献阅读：P143-4函数凹凸性判断练习 检验下列函数的凹凸性222121),(xxxxf222121212),(xxxxxxf专题三:拟凹函数、拟凸函数Topic 3:Quasi-Concave and Quasi-Convex Function上等值集与下等值集 设函数 f：SRn R,S为凸集，集合 U(f,b)xS:f(x)b)称为函数 f 的一个上等值集。L(f,b)xS:f(x)b)称为函数 f 的一个下等值集拟凹函数与拟凸函数 设函数 f：SR
9、n R,S为凸集，如果任意b R集合U(f,b)总为凸集，称函数 f 为拟凹函数。如果任意b R，L(f,b)总为 凸集，称函数 f 为拟凸函数。如果任意b R集合U(f,b)总为严格凸集，称函数 f 为严格拟凹函数。如果任意b R，L(f,b)总为 凸集，称函数 f 为 严格拟凸函数。拟凹函数与拟凸函数代数定义 设函数 f：SRn R,S为凸集，如果任意u,v Rn (0,1),f(v)f(u),有 f(u (1-)v)f(u),f为拟凹函数 f(v),f为拟凸函数拟凹函数与拟凸函数几何图示MNN2M2拟凸函数拟凸函数拟凹函数拟凹函数拟凹函数与拟凸函数 当无差异曲线凸向原点,效用函数是拟凹函
10、数。为什么？当等产量曲线凸向原点，生产函数是拟凹函数。为什么？练习：试证明：一个凸函数必定是拟凸函数；一个凹函数必定是拟凹函数；如果函数f(x)是（严格）拟凹函数，则 f(x)是（严格）拟凸函数。线性函数既是拟凸函数，又是拟凹函数但，反之不成立注意：一个单调函数既是拟凹函数，又是拟凸函数注意：一个单调函数既是拟凹函数，又是拟凸函数。证明 函数 f 为凹函数，对任意u,v Rn (0,1),有 f(u (1-)v)f(u)(1-)f(v)假设f(v)f(u),有 f(u (1-)v)f(u),所以f为拟凹函数如果函数f(x)二次可导，nnnnnnnnfffffffffffffff21222212
11、112111210B111110fffB22212121112120ffffffffB拟凸函数和拟凹函数判断法则 在非负象限，拟凹的必要条件是：在非负象限，拟凹的充分条件是：拟凹和拟凸函数00,0,021nBBB，n为奇数，n为偶数00,0,021nBBB，n为奇数，n为偶数 在非负象限，拟凸的必要条件是：在非负象限，拟凸的充分条件是：拟凹和拟凸函数0,0,021nBBB0,0,021nBBB 证明下面函数是拟凹函数：拟凹和拟凸函数练习)1,0;0,(,),(bayxyxyxfba 证明下面函数是拟凹函数：答案)1,0;0,(,),(bayxyxyxfba0,021BB专题四:齐次函数Topi
12、c 4:Homogeneous Function齐次函数 设函数 f：Rn R,tR，x Rn,如果 f(tx)=tm f(x),亦即f(tx1,txn)=tm f(x1,xn),称函数 f 为m次齐次函数。线性函数为一次齐次函数。为什么？齐次函数练习：f(x,y,w)=x/y+2w/3x g(x,y,w)=x2/y+2w2/x h(x,y,w)=2x2+3yw-w2证明：C-D效用函数导出的需求函数为零次齐次函数齐次函数与规模报酬 假设生产函数为C-D函数 f(x)=A L K 。该函数为 次齐次函数 判断其与规模报酬之间的关系 欧拉定理 Eulers Theorem f(tx)=tm f(
13、x)两边对t求导，得到 令t=1，得到 )(11xfmttxfxminii)()(111xmfxfxxfxxmfxfxnninii欧拉定理 Eulers Theorem 如果C-D生产函数是一次齐次，则 QKKfLLfCES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution 假设生产函数为 y=f(a,b),则替代弹性 babababappabppdabdppppdababd/)/()/(/)/(/)/(平均函数边际函数CES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution 或 babababappabppdabdffffdab
14、abdTRSdTRSababd/)/()/(/)/(/)/(/)/(CES 生产函数 Constant Elasticity of Substitution CES生产函数 其中A0,01,-1 0 可以证明：上述函数满足一次齐次性，因而：试证明CES函数的等产量线是凸函数，CES函数是拟凹函数。/1)1(LKAQQKQLQKL011LQAQL01KQAQK011LKQQdLdKKL可以推出等产量线是减函数，向下倾斜还可以推出等产量线是严格凸函数022dLKd0)1)(1()(2LQLQLQAQLQLLLL因为0QLQL0)1()(2KQKQKQAQKQKKKK0)1)(1(LQLQAQQKLKKLLLLKLKLKKKLKQQQQQQQQ0B检验生产函数的拟凹性001KKKKQQQB002LLLKLKLKKKLKQQQQQQQQB可见，CES生产函数拟凹。11LKQQPPKLKL)1/(1)1/(1)1/(11KLKLPPcPPLK1)1/(11)/()/(KLKLPPcPPdLKd11练习 求C-D生产函数的替代弹性 f(x)=A L K 。答案：1