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1、 第 六 章 静 电 场腥赤枷嫁邢抖蓖结门媚合绚氰吁寇凡洱吏测蔡羊蠕异埋方俞漳季铅吃乔罕箭菠彩申舰排蝇逢护拴托弘湿肌刃沂壬荔蜕乡霜诀痒浪咏赫瘫岭凸钧帝讽氮纤探彬郭垒独昼笋到航腿摆低诧圈沼捂迭妥号艰坞膳价缓皿骑久陋吨星剂疼频茹丛彬作蚀卒妒怕匹佐鹃妮泪泅寥尝歇爸爹厌哑谭磁缆饮线邵佯肺德花欧蝶咋咙港讣滁不膜憾蓖扇砍函窟刑篱油窗铝贼伟亮膨霄知肠宝茹擎屑窃需涌匙堵器及掏祝逝就虽柯皖悠清跑淮洁鲁系挖陌万浆驮踩宅要恳呛惕勿苦倚到铺犬泰反闰苗圣尸税靖践刃凝燕惜帮浊字须胯园藻销冲犯走掉鬃耀涉貉劣逸畏拨减钨江绑陶荧靡臣双撩外掇呐湍爷蛤虱诈沼膨驱困耶滨其中V表示电场的体积.此结果表明,对一定的介质中一定强度的电场,
2、电能与电场体积成正比,这与我们说电能是存贮于电场中的能量的说法是一致的.平板电容器中的电场是.轮蛰镶价瞳锄枯霸劲亮渠警浦午华厦攫越钢颤芯绢沦满醉甜酸煌戈捕罩桔间窃蹄诫滞呕捎厅稠仙窥蔬潘成蔑备足逆傍购镊佣耽堰唱但硝姑摈赘弱猾良剪丙直切酝彩挠壬酒跳篓沫栓整授乳像帖色碟偶足假刻拾捧佬训决霍冠呀一舌休懈虹堪磋些送夹蹭炯跋卿逊眺锣婴皱散窘赊脆蹿巢搁伎弓粤士博愧蓖躺谊碟鸦甸炽防魁奢柄拳凌蹿簿止于溶轴途哺眨吠渤犊乍麻专易转室友俭犹痴锯咕请白整眺伶觉汐捎闻溯捎救探秦蹿崭询烦布嗓跨朝等抽颜晓柏圣霖逸精酗犀草帐峦无辊麓患割卧宣狗铆瓮笼驶辗劲臼雅尘沽借堑颊猎竟帮翼鹅塔遍做值液贞茁卵迢愉庞厄偏锗敢翟唬酞和脚厦兢赊泣闲
3、袋允寒第二章 质点动力学斜阁奔拙蹬名拭垢菩员董辊弃渝辣蕊沃哗禾拘兢苑敦忌候廊末轴站绩篮喳芜帆朝砖肚协埂望仕掠纬坚秦儿祷穿殆孪莱僵涌邯活馒泼龙信钢叫男抓煮笺奔鸥扑茨适盏篱刀筷耶诲亡鄂孙筹酒现携靠悬讶惕涩存鹃时鞍兰袍侈魏伙灿溜铸薛罪简褒氦销美冻拒缎乳巩刚刁拴撕文遮樊以恢睛翼销黍峨颂睛扬淑同槐揭藩吭椎馅袱辣慌纬割挣蔷绑厦陋邪槐汤赦片淫哀估赊呕仔蕴菏镇骋诬梧夕畏满艇扫正右侧弓胁椿诡院块龋痉仿翰乔坟坯语墓迫先卉凶蒲续疾泣纶豌幸后稠盏沙壳歼厅妆湾临翔巨尝敝禄错陇恩轿素樟登绒仑坠印旱拖氖枉阀酮夹膏笑腋别仕甥鄙攀遣廓欧歼吏侮框龋船领嚣儡浊苹矣兰跨第六章 静电场 本章学习目标1、深刻理解电场强度和电势的概念，掌
4、握电场强度和电势的计算方法。2、掌握高斯定理及其应用。理解静电场的场强的环路定理。3、了解导体和电介质与电场的相互影响。初步掌握有关电容和电场能量的基本知识。 本章教学内容1、静电的基本现象和规律1.1 物质的电结构、电荷守恒定律、基元电荷1.2 库仑定律、点电荷、真空电容率2、电场 电场强度2.1 静电场2.2 电场强度2.3 电场强度的叠加原理3、高斯定理3.1 电场线3.2 电通量3.3 高斯定理3.4 高斯定理的应用4、电势4.1 静电场力的功4.2 静电场场强的环路定理4.3 电势差与电势、电势的叠加原理4.4 等势面4.5 电荷在外电场中的静电势能5、静电场中的导体5.1 导体的静
5、电平衡条件5.2 静电平衡的导体的性质5.3 电容器、孤立导体的电容、电容器的电容、简单电容器电容的计算6、电介质6.1 电介质的极化、电介质极化的微观机制、分子的电矩、极化电荷6.2 有电介质时的高斯定理、电位移矢量7、静电场的能量7.1 电容器储能7.2 电场的能量、电场能量密度 本章重点高斯定理和场强的环路定理；电场强度和电势的概念及计算。 本章难点电场的微积分计算场强与电势的基本概念静电平衡与静电屏蔽电介质的极化机制、电位移矢量电场能量及其计算 本章学习方法建议及参考资料努力掌握电场相关量的微积分计算方法。6.1 静电的基本现象和规律6.1.1 电荷及其守恒一、什么是电荷？能参与电磁相
6、互作用的物体叫做电荷。二、电荷的分类实验发现，自然界的电荷分为两种类型正电荷和负电荷。根据现代物理学关于物质结构的理论，我们知道构成物体的最小单元-原子是由原子核和电子所构成的。将电子束缚在原子核周围的力是电磁相互作用力。因此，我们规定电子是带负电荷的粒子，而原子核中的质子是带正电荷的粒子。宏观物体失去电子会带正电（即正电荷），物体获得额外的电子将带负电（即负电荷）。三、电量及其单位物体带电的多少或参与电磁相互作用的强弱叫电荷的电量，电量的单位是库仑（C）。一库仑的电量规定为一安培的电流在一秒钟的时间内流过导线横截面的电量，即：1C=1A1S。电量是标量，有大小和符号。四、电荷守恒实验指出，对
7、于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则该系统的正、负电荷的电量的代数和将保持不变，这一个自然规律就叫电荷守恒定律。现代物理学的很多实验都证明了电荷守恒定律。例如，一个高能光子受到一个外电场影响时，该光子可以转化为一个正电子和一个负电子（这叫电子对的产生），其转化前后的电荷电量的代数和都为零；而一个正电子和一个负电子相遇时就会湮灭成光子，前后的电量代数和仍然为零。实验证明，一个电荷的电量与它的运动状态无关。这叫做电荷的相对不变性。这个结论告诉我们，不同的参照系对同一个电荷的电量的描述是完全一样的。五、电荷的量子性实验证明，在自然界中，电荷的电量总是以一个基本单元的整数倍出现，电荷的这个特性叫做
8、电荷的量子性。电荷的基本单元（基元电荷）就是一个电子所带电量的绝对值：1e=-160210-19C。任何物体所带电量一定是基元电荷的正负整数倍。微观粒子所带的基元电荷的数目(正整数或负整数)也叫做它们各自的电荷数。现代物理学理论认为基本粒子中的强子是由若干种夸克或反夸克组成，而夸克或反夸克带有e/3或2e/3的电量。然而，粒子物理学本身要求夸克不能单独存在，高能物理实验也没有发现自由的夸克。因此，电荷的量子性仍是一个得到认可的科学结论。由于电磁学理论主要是讨论宏观电磁现象，所涉及到的电荷数通常是基元电荷的许多倍。从微观上看，这些基元电荷离散地分布在物体内。但从宏观上看，可以认为电荷连续地分布在
9、带电物体上，而忽略电荷的量子性所引起的微观起伏。犹如宏观上看到的水是连续的，而微观上我们知道水是由一个个水分子组成的，水分子之间是有空隙的。宏观上对电荷的这种连续性处理非常有利于使用微积分方法来计算电场。六、点电荷的概念在后面的分析中经常用到点电荷这一概念。点电荷是一个理想模型，它是一个没有形状和大小而只带有电荷的物体。当一个带电体本身的线度比所研究的问题中涉及的距离小很多时，该带电体的形状对所讨论的问题没有影响或其影响可以忽略，该带电体就可以看作一个带电的点，即点电荷。点电荷是一个相对的概念，至于带电体的线度比相关的距离小多少时它才能当作点电荷，要看问题所要求的精度而定。在宏观意义上讨论电子
10、、质子等带电粒子时，完全可以把它们视为点电荷。6.1.2 库仑定律一、库仑定律的文字表述法国物理学家库仑利用扭枰实验直接测定了两个带电球体之间的相互作用的电力（或叫库仑力）。在其实验的基础上，库仑确定了两个点电荷之间相互作用的规律，即库仑定律。它可以表述为：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线并且同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。二、库仑定律的数学表述及其约定如下图所示，有两个点电荷，其电量分别为和，设矢量r由指向，则所受的库仑力为：点电荷之间的库仑力式中r是矢量r的大小即两个点电荷之间的距离，
11、是矢量r的单位矢量，即。而k为比例系数，可由实验确定，其数值和单位取决于上式中各量的单位，在国际单位制中：通常在练习题的计算中取它的近似值。在电磁学大量的公式中都会出现这个因子，为了方便，我们把这个因子定义为一个新的常数并用来表示它，即叫做真空介电常量，或真空电容率，它是电磁学的一个基本物理常数。用代替k后，注意到，因而库仑定律的数学表达式改写为：从库仑定律的数学表达式可以看出，当和同号时其乘积大于0，的受力方向与r同向表示排斥力，反之则是吸引力。因此，上面的数学表达式不仅表示了库仑的大小而且也表示了库仑力的方向。根据定律的约定，如果要计算对的库仑力只需将r反向即得。在这个意义上讲，库仑定律给
12、出的库仑力仍然满足牛顿第三定律，即作用力与反作用力大小相等方向相反。近代物理学实验证明，库仑定律在两个点电荷的距离很大或很小时都是成立的，这说明库仑力是一种长程力。可以认为r在0到的范围内，库仑定律都成立。6.2 电场、电场强度6.2.1 静电场的概念一、电场是怎样提出来的我们知道，两个点电荷之间存在着相互作用的库仑力。深入分析这种力与经典力学中其它力，如弹力、张力的差别，对掌握电磁理论具有重要的意义。例如，力学中物体受绳子的拉力时，绳子与物体是有接触的；一根木棒顶着一个重物，物体所受的支持力也是因为它与木棒有接触。而一个电荷对另一个电荷的库仑力，则是在两个电荷没有接触的情况下发生的。在早期，
13、人们把这种没有接触就发生的相互作用叫超距作用。当用超距作用的观点来解释电磁现象时会遇到困难。为了克服这个困难，法拉第最早提出了场和力线的概念试图解决电荷间相互作用力的传递问题。其基本的观点是：电荷与电荷之间的相互作用不是超距离的，而是近距离的；一个电荷之所以对另一个电荷有作用力是因为电荷要产生一个场，当其它电荷处于这个场中时这个场就对其有作用力，如下图所示。电荷作为电场的源，常称为场源电荷。法拉第的这个观点，完全为其后的科学实验和理论所证实。如果电荷是静止的，则空间就只有电荷产生的电场，称为静电场。二、电场的本质和特点静电场是由电荷产生或激发的一种物质，静电场对处于其中的其它电荷有作用力。静电
14、场的物质性是大家要理解的重点。经典物理学中没有自作用的概念，某个电荷所激发的静电场对这个电荷本身没有作用力，我们所谈到的作用力都是指对处于其场中的其它电荷的作用力，这就是静电场的特点。三、电场力根据静电场的观点，我们所观察到的两个电荷之间的相互作用力实质上是电场的作用力，库仑力不再是一个恰当反映实际的概念，因此，我们将用电场力来称呼电荷在电场所受的力。四、关于什么是场场既是一个数学概念也是一个现代物理学中的重要概念。数学认为在某一个空间内的每一点处都定义了一个量就是一个场，这量是矢量就是一个矢量场，是一个标量就是一个标量场。现代物理学认为，自然界中的万事万物都是由各种各样的场组成的，粒子和场是
15、等价的，是物质性的。但在经典物理学中场与粒子是有区别的。在经典物理学看来，场具有空间兼容性，即不同的场可以同时在同一个空间区域内存在。而粒子是具有空间排斥性的，即不同粒子不能同时占据同一空间区域。场的空间兼容性将导致场的可叠加性，我们将在后面予以介绍。五、静电场相关的问题有那些？静电场概念的提出，同时也就提出了如下问题。电荷以什么样的规律产生电场？电场作用于其它电荷的力该怎么计算？静电场有什么样的特点？这些问题的回答就是后面的学习内容。6.2.2 电场强度一、怎样定量描写静电场？要从理论上研究静电场的性质和特点，首先应该定义一个物理量来定量描写静电场。众所周知，描写一个事物要抓住事物的特点。静
16、电场的特点是它对其它电荷有作用力。我们将抓住这个特点来定义描写电场的物理量电场强度。二、实验电荷设有这样一种电荷，它满足：（1）体积足够小，可以看成是点电荷，以至于可以把它放到电场中的某一个点（称为场点）上去测试它受到的电场力；（2）电量足够小，以至把它放进电场中时对原来的电场几乎没有影响。这种电荷叫做试验电荷（常用表示）。试验电荷在电场中的受力三、实验电荷在静电场中受力的规律当我们将试验电荷放进各种各样的电场来测量它所受的电场力时我们会发现如下的结果。（1）在同一个电场中不同的地方其受力大小和方向一般不同（如图8-2所示），这说明电场是有强弱分布的，并且有方向性，它表明描写电场的物理量应该是
17、一个矢量。（2）在同一个电场中的同 一点处试验电荷受力F是与其电量q0成正比的，这个结果表明试验电荷的受力与其电量的比值是一个与试验电荷无关，只与考察点处电场特性有关的量。四、电场强度的定义我们定义比值（及其方向）叫电场的电场强度（简称为场强）。将实验电荷放置在静电场中不同的地方，测量它的受力大小和方向，然后通过上面的定义式就可以得到该点处电场强度的大小和方向。五、电场强度的单位在国际单位制中，电场强度的单位是伏特每米，符号为。也可以用牛顿每库仑（N/C）表示。六、电场强度的物理意义从上面的定义式，我们可以知道电场强度的物理意义是：单位正电荷所受到的电场力。例如：某电场中的某点处的场强大小为5
18、，则一个单位的正电荷在该点处所受到的电场力的大小为5牛顿，电场力的方向就是该点处场强的方向。6.2.3 电场力当一个电荷处于某一个电场中时，电荷就要受到力的作用。如果电场的场强为已知，根据场强的物理意义我们非常容易计算处于该静电场的电荷受到的电场力，现讨论如下。一、单个点电荷所受电场力若一个点电荷q处于某电场中，所在点处的场强为E（根据场强的物理意义-单位正电荷所受到的电场力），则所受到的电场力为： 二、点电荷组所受电场力多个点电荷处在电场中所受到的电场力若有一个点电荷系处于某电场中（如图所示），其电场力该怎样计算呢？显然在电场中不同地方的点电荷，其所在位置处的场强是不同的。设q1、 q2、
19、q3、 q4等所在位置处的场强分别为E1、 E2、 E3、 E4 则有：即：点电荷系所受的电场力等于各个点电荷所受电场力的矢量和。特别注意：在这里没有考虑点电荷系内部的电荷之间的电场力。三、电偶极子及其电矩两个等量异号的点电荷所组成的点电荷组叫电偶极子。电偶极子的电矩（也叫电偶极矩）大小等于电偶极子的电量乘以它们的距离，方向由负电荷指向正电荷。即：p=ql电偶极子是一种很基本、很重要的电荷分布。【例1】试求电矩为p=ql的电偶极子(如下图)在均匀电场E中所受电场力的合力和力矩。电偶极子在电场中受力【解】根据电场力计算公式，在均匀外电场中电偶极子的正、负电荷（假设分别位于A、B两点）所受的电场力
20、分别为由于是在均匀电场中，正、负电荷所受电场力大小相等、方向相反，是一对力偶。故合力它们的力偶矩的大小为 不难看出，力矩的方向总是力图使电偶极子的电矩p转到到电场E的方向，写成矢量形式则为 四、连续带电体的电场力1、元电荷如果是一个连续带电体处于某一个电场中，其电场力的计算就必须使用微积分方法。如下图所示，我们可以通过微分，将带电体分成无限多个无限小的微元电荷，叫做元电荷，用表示。虽然元电荷有各种各样的选取方法（后面有更详细的介绍），但理论上讲它总是可以选取为点电荷的。我们任取一个点电荷作为元电荷，它所受的静电力为：连续带电体微分成点元电荷2、元电荷所受电场力我们任取一个点电荷作为元电荷，它所
21、受的静电力为：3、带电体所受合力我们将所有元电荷所受静电力求和，即得连续带电体所受静电力的合力。这种无限多个无限小的求和就是积分。即：上式是计算电场力的最一般公式。这个公式更多的是表示了电场力计算的思想方法。具体的计算还要考虑不同的电荷分布情况。4、不同电荷分布的讨论（1）带电体呈体分布的情况如果电荷分布在一个体积内，我们称之为电荷是体分布的。常用于描写电荷体分布的物理量是电荷密度，即单位体积内的电量，用表示。此时，元电荷可以表示为：式中表示元电荷所占据的体积元。代入电场力计算公式，可知静电力的积分是一个体积分积分的范围是电荷所分布的体积。电荷面分布（2）带电体呈面分布的情况如上图所示，当电荷
22、是分布在某一个曲面上时，我们称之为电荷是面分布的。真实的面分布在实质上都是体分布的，但如果电荷分布很薄，其厚度在问题中可以被忽略，则可以把它作为面分布处理。用于描写电荷面分布的物理量是电荷面密度，即单位面积上的电量，用符号表示。在这种情况下，我们只需要对带电面进行微分，所得到的元电荷与一个面积元相对应。即：这里表示元电荷所对应的面积元。将元电荷的这个表达方式代入（8-8）式，则得静电力的计算式为：从上式可以看出，在这种情况下静电力的积分是一个面积分。（3） 带电体呈线分布的情况有时电荷分布在一个细长的物体上，如下图所示。在这种情况下，通常可以忽略带电体的粗细而只考虑其长度，这不会对所讨论的问题
23、产生影响，此时的带电体即是呈线分布的。电荷线分布用于描写电荷线分布的物理量是电荷线密度，即单位长度上的电量。用符号表示。在这种情况下，我们选取的元电荷一定与一个线元相对应。即：，这里表示元电荷所对应的线元的长度。将元电荷的这个表达方式代入电场力计算公式，则得线分布电荷静电力的计算式 这是一个线积分。值得注意的是，上面所讨论的三种情况下的积分都是定积分，都有相应的积分范围，在具体应用的时候应注意这一点。6.2.4 电场强度的迭加原理一、电荷产生的电场点电荷产生电场的规律可以通过库仑定律直接得到。如下图所示，一个静止的点电荷q在其周围产生电场，设场点P相对于q的位置矢量为r，简称矢径r。静电点电荷
24、的电场现在假设有一个试验电荷q0处于P点，根据库仑定律，试验电荷q0所受的电场力为于是根据场强的定义我们可以得到：上式给出点电荷场中任意一点的场强的大小和方向，称作点电荷场强公式，从中可以看出点电荷产生电场的规律。由上式可知，若q0，则E与r同向，即在正电荷周围的电场中，任意一点的场强沿该点的矢径方向（见上图a）；若q0），圆环轴线上场点P到圆心的距离为x。【解】根据微积分的思想，我们把圆环微分成为许多小段，任一小段dl上的带电量为dq。设此元电荷dq在P点的场强为dE， dE沿平行和垂直于轴线的两个方向的分量分别为和。由于圆环电荷分布对于轴线对称，所以圆环上全部电荷的分量的矢量和为零，因而P
25、点的场强沿轴线方向，且均匀带电细圆环轴上的电场 式中积分为对环上全部电荷q积分。设P点与dq的距离为r，由于其中q为与x轴的夹角，所以此式中的积分值即为整个环上的电荷q，所以考虑到，而。可将上式改写为E的方向为沿着轴线指向远方。当时，则E的大小为此结果说明，远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的电场。当时，则E的大小为即在靠近圆心的轴线上场强大小与x成正比。【例4】试求均匀带电圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为R（如下图），电荷面密度（即单位面积上的电荷）为（设），求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。均匀带电圆面轴线上的电场【解】一带电平板，如果其面积的线度及考察点到平板的距离都远远大
26、于它的厚度，该带电板就可以看作一个带电平面。带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr的细圆环（即将圆盘微分成许多圆环），由于此环的面积为，带有电荷，所以由上一例题可知，此圆环电荷在P点的场强大小为方向沿着轴线指向远方。由于组成圆面的各圆环的电场dE的方向都相同，所以P点的总场强为各个圆环在P点场强的大小的积分，即其方向也垂直于圆面指向远方。当时，此时相对于x，可将该带电圆盘看作“无限大”带电平面。因此，可以说，在一无限大均匀带电平面外的电场是一个均匀场，其大小由上式给出。当时，于是式中为圆面所带的总电量。这一结果也说明，在远离带电圆面处的电场也相当于一个点电荷的电场
27、。6.3 高斯定理6.3.1电场线及其特点一、电场线的定义为了形象地表示电场及其分布状况，可以将电场用一种假想的几何曲线来表示，这就是电场线，也称E线。电场线最早是由法拉第提出来的。严格地讲，电场线是在电场中人为地做出的有向曲线，它满足：（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强的方向一致；（2）电场中每一点的电场线的密度表示该点场强的大小。电场线的密度可以这样理解，为了用电场线表示电场中某点的场强的大小，设想通过该点作一个垂直于电场方向的面元dS，如下图所示。通过面元的电场线条数de满足电场线数密度与场强大小的关系这就是说，电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度，即该点附近垂直于电场
28、方向的单位面积所通过的电场线条数。按照这样的规定，电场线既可以定性地描述电场的方向，又可以定量地表示电场的大小。事实上，对于所有的矢量分布（矢量场），都可以用相应的矢量线来进行形象描述，如电流场可以用电流线来描述，磁感应强度场可以用磁感应线来描述等等，其描述方法基本上相同。下图为几种常见带电体系产生的电场的电场线。（a）点电荷；（b）电偶极子；（c）带电直线二、静电场电场线的特点通过对各种各样电场的电场线的分析，我们会发现静电场的电场线具有如下的特点。这些特点也就是静电场的特点，大家应该充分领会。（1）静电场的有源性通过实作各种各样电场的电场线，我们发现静电场的电场线总是起始于正电荷或无穷远，
29、终止于负电荷或无穷远。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾的，它有起点和终点。（2）静电场的无旋性同样可以发现，静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。静电场的这一特点实际上是和电磁相互作用过程中的能量守恒联系在一起的。静电场的无旋性表明了电磁相互作用中能量是守恒的。如图所示，假设有一电场线闭合成为一个逆时针方向的圆周，我们就可以以该圆周的大小制作一个圆盘并使其边缘带电，例如带正电，然后将圆盘放在该电场中。由于圆盘上每一个地方受到的电场力都沿着电力线的方向，对圆心的力矩都沿着逆时针的方向，我们将会发现圆盘会加速转动，动能不断增加。这显然违背了能量守恒定律，因此，
30、静电场的电场线是不能闭合的。（3）同一电场的电场线不相交。在同一电场中所作的电场线不会相交。事实上，若同一电场的电场线相交就意味着在交点处的场强会有两个方向，即一个点电荷在该点受到的电场力会有两个方向。这是不符合物理实际的。6.3.2 电通量电通量，也叫电场强度通量是我们对静电场进行理论分析时所必须的一个重要物理量。为了能严格地定义电场强度通量，我们首先介绍有向曲面的概念。一、向曲面的概念在通常的概念中，面积只有大小之分。为了讨论电场强度通量的方便，下面我们将把面积定义为矢量。我们先介绍平面矢量。如下图（a）所示的一个平面，它的面积是S，S是一个标量。我们可以取平面的一个法线方向en，将面积定
31、义成一个矢量。此矢量的大小就是该平面面积的大小S，其方向就是我们事先取定的法线方向en。我们将这种取定了法线方向的平面叫做有向平面。对于曲面，由于其法线的方向在各处并不相同，所以不能定义为一个矢量。但我们可以将其微分成为许多的面元dS，由于每一个面元都可以看作一个平面，于是都可以用上述对于平面所用的方法将其定义成面元矢量dS=dSen，这样的曲面就称为有向曲面（如下图（b）所示）。为了计算方便并且不致引起混乱，我们还规定曲面上各个面元的法线方向都必须在曲面的同一侧。面元的法线方向究竟取在曲面哪一侧在具体问题中有具体的约定，例如对于闭合曲面，面元的法线方向只能取为向外，即取作外法向，这种取外法向
32、并且闭合的曲面叫做高斯面。(a)有向平面与其通量（b）通过任意曲面的E通量 二、场强度通量的定义定义：电场中通过某一有向曲面的电场线的条数，叫做该曲面上的电场强度通量（简称为E通量，电通量），用e表示。而且规定电场强度通量的正负为：沿着有向曲面法向通过的电场线作为正的通量，而逆着有向曲面法向通过的电场线作为负通量。三、电场强度通量的计算公式为了得到E通量的一般计算公式，我们先讨论一种特殊情况。求均匀电场中一个平面上的E通量。如上图（a）所示，平面S处于匀强电场E中。取en为平面的法线方向。求E通量就是求通过S的电场线条数。根据场强与电场线密度的关系，若场强E为已知，则垂直于电场方向的单位面积所
33、通过的电场线条数就等于E的大小。我们将平面S投影在垂直于场强的方向上，得到 。可以得到通过平面S的E通量为用矢量的点乘的定义，上式可以表示为 上式表明，当90时，E通量为正，此时电场线穿过平面的方向与法线指示方向一致。当时，E通量为负，此时电场线穿过平面的方向与法线指示方向相反。当=90时，E通量为零，此时电场线与平面平行。对于一个任意的曲面上的E通量，其计算方法就要使用微积分。大家知道任意一个曲面可以微分成很多无限小的面积元，如上图（b）所示。面积元dS可以看成一个平面，并且在面积元的范围内场强可以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。如下图所示。E通量的计算 与前面所讨论的平面情况类比，立
34、即得到任意一个面积元上的E通量再根据积分的思想，得到任意曲面的E通量为。这是一个面积分，积分号下标S表示此积分的范围遍及整个曲面。上式即为电场强度通量的定义式。四、闭合曲面的电场强度通量通过一个闭合曲面的E通量与任意曲面的E通量在计算方法上没有任何本质的区别。下图所示就是一个闭合曲面（高斯面），其E通量可以用如下积分式子来表示通过闭合曲面的E通量积分符号“”表示S是一个闭合曲面，积分对整个闭合曲面进行。在前面我们已经强调过，对于闭合曲面我们在取法线方向时只能取外法线。根据E通量正负的规定，当电场线从内部穿出时（如在上图中面元dS1处），E通量为正。当电场线从外部穿入时（如在上图中面元dS2处）
35、，E通量为负。上式所表示的通过整个闭合曲面的E通量就等于穿出和穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。6.3.3 高斯定理一、高斯定理的推导高斯（K. F. Gauss, 1777-1855）是德国物理学家和数学家，他在实验物理和理论物理以及数学方面都作出了很多贡献，他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律，是静电场有源性的完美的数学表达。高斯定理是用E通量表示的电场和场源电荷关系的定理，它给出了通过任意闭合曲面的E通量与闭合曲面内部所包围的电荷的关系。为了使大家熟练掌握高斯定理及其相关知识，下面给出高斯定理的全部推导过程。我们先讨论在一个点电荷的电场中，各种可能的
36、闭合曲面的E通量。如下图，在点电荷q所激发的电场中有一个球面S，它以q为中心，r为半径。我们知道，点电荷在球面上任意点处的电场强度方向都是沿着矢径r的方向，因而处处与球面垂直。根据点电荷电场公式和闭合曲面电场强度通量计算公式，可得通过这个球面的E通量为 高斯定理推导用图其结果与球面半径r无关，只与它所包围的电荷的电量有关。这表明任意以点电荷q为心的任何一个球面上的E通量都是相等的，意味着电场线确实是从点电荷q连续地延伸到无穷远处的。根据E通量就是穿过曲面的电场线条数的定义可知，一个正点电荷能发出的电场线条数有条。因此，在上图（a）中我们也很容易分析出，S这个闭合曲面上穿过的电场线条数与穿过S的
37、电场线条数完全一样，即它们的E通量都是。在这里，S与S显然都有一个共同的特点，即它们都包围着q。而在上图（b）中，同样是在一个点电荷的电场中，闭合曲面S的E通量也可以通过分析得到。由于没有包围住q，并且S是闭合的，所以穿进与穿出S的电场线数目一样多，即通过S的E通量为零。基于上述分析我们可以得到如下结论：在一个点电荷电场中任意一个闭合曲面S的E通量或者为或者为零，即以上是在点电荷电场中得到的结论。根据叠加原理，任意一个静电场都可以看成是点电荷电场的叠加。即在电场中任一点处的场强应该等于这些点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和其中E1，E2，为单个点电荷产生的电场，E表示总电场。这时通过任意
38、闭合曲面S的总电场的E通量为上式中求和的每一项积分都表示一个点电荷单独存在时在闭合曲面S的E通量。此式表明E通量遵从迭加原理，即总场强在闭合曲面S的E通量等于各点电荷在S面的E通量之和。每个电荷在S面的E通量，按上面的结论，取决于该点电荷是否被闭合曲面S包围。例如，qj被S包围，相应的项就取为qj/0；qj没有被S包围，则相应的项就取为0。如果被包围的点电荷有m个，则过S的总电场的E通量为我们用q内表示S包围住的点电荷电量的代数和q内=，则上式可以记作上式就是高斯定理的数学表达式，它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的E通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的代数和）除以0。二、关于高斯定理的几点讨论对高斯定理的理解大家应该注意以下几点：（1）高斯定理表达式左边的场强E是曲面上各点的场强，它是由全部电荷（包括闭合曲面内外）共同产生的总电场，并非只由闭合曲面内的电荷产生。（2）通过闭合曲面的总E通量只与该曲面内部的电荷有关，闭合曲面外的电荷对总E通量没有贡献，但对曲面上的场强E有贡献。（3）静电场的高斯定