车灯线光源的优设计数学建棋题目.doc

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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的

2、话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重 庆 大 学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：车灯线光源的最优设计摘 要 车灯线光源的设计具有很强的实际应用意义。该问题属于单目标规划中的非线性规划问题。本文通过已知条件求出了灯光焦点，以及任一条反射光线的

3、空间解析表达式和对应屏上的坐标位置表达式。然后建立光子跟踪模型进行求解。光子跟踪模型的原理是把光线粒子化，及时跟踪光子的运行方向，最后以单位面积打到屏上的光子数来衡量光照度大小，进而反映光强度在屏上的分布规律。这是一种离散型处理方法，其本质是计算机模拟。这个模型中基于不同原理又提出了好几种算法：等间距光子跟踪算法，改进的等间距跟踪算法，等效立体角跟踪算法和随机方向跟踪算法。每一种算法的原理都不一样，层层递增，一步比一步深入，并分别作图进行比较。另外还结合边界条件讨论了线光源长度的临界值以及B、C两点光强随线光源长度变化的规律。在进一步讨论中，我们分析了光线直射到屏上时的情况，对二次反射的影响也

4、做了分析，进而证明了问题的合理性。 本文我们得出的结论是：满足功率最小时的灯丝长度为4.337mm，第二问的答案见下图，图的大概形状是一个心形。 关键词：光子跟踪模型 计算机模拟 一、问题重述与分析：1、 问题重述车灯线光源的设计是一个非常实际的问题。已知车灯的形状为一旋转抛物面，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定使光源功率最小的线光源长度（规范化要求略，见原题）；并对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区和讨论该设计规范的合理性。2、问题分析显然在线光源单位

5、长度光通量一定的情况时，要使光源功率最小，线光源的长度也应该较小。但线光源的长度太小了，有可能出现C点的光强度小于额定值；线光源的长度过大，虽然能同时满足B、C两点光强度的要求，但线光源的功率也增大了。我们的目的就是在B、C两点光强度满足题目要求的情况下，求出最小的线光源长度。另外还要特别注意对“光强度”这一概念的理解，我们认为它和物理学上的“发光强度”是一致的。按光度学中的定义，发光强度是某一方向上单位立体角内所辐射的光通量大小。一般不是用肉眼可以观察到的，主要的测量仪器是前照灯检测仪（参看中国汽车检测网前照灯检测）。其构件一般是采用具有把吸收的光能变成电流的光电池元件，按照前照灯主光轴照射

6、光电池产生电流的比例，来测量前照灯的发光强度。由于本题中的光源不是点光源，直接求光强度比较困难，我们通过对光照度的测量来近似反映B、C两点光强度的大小。光照度是单位面积上所接受的光通量的大小，用来衡量被照明表面明暗程度的物理量。二、 模型假设：1、基本假设（1） 光线通过车灯的前玻璃时能量无损失。（2） 光线在抛物面进行一次反射时，能量考虑成无损失。（3） 不考虑二次反射。（4） 不考虑光的干涉和衍射现象。（5） 截取线光源上很小的一段，可以看成是在空间呈均匀辐射的点光源。于是线光源可以看成是无穷多个点光源的叠加。（6） 不考虑线光源对反射光能量的阻挡和吸收，即是说线光源不考虑厚度，反射光线可

7、以毫无影响地穿过线光源区域。2、 符号说明-车灯的深度，h=21.6mm-车灯的焦距-线光源的长度-单位长度上线光源的光通量，一个点光源的光通量可以近似记为- 一个点光源的光通量大小=- 一个点光源的发光强度 ，三、 模型建立及求解：定理1：灯泡的焦距=15mm证明：我们以光轴的正方向为x轴，竖直 方向为z轴，水平方向(AC方向)为y轴，抛物面的顶点为原点建立空间直角坐标系。如图是抛物面在z=0时的函数图象，设函 数为则焦距= ，由抛物线的定义，得 解得p=30,所以=15mm。 # 因此曲面方程：， 作出的图象见右图。该模型是一个单目标非线性规划问题 其中K是某一要求的额定光强度, ,分别表

8、示线光源在B,C两点的光强度 我们的目的就是求出满足P最小的 光子跟踪模型：本题中线光源可以看成是许多个点光源的叠加，只有焦点处的那个点光源通过抛物面后的反射光线是平行光束。其它点光源的反射光线都不是平行光束，因此射到屏上的总光线分布比较复杂，难以求出解析表达式。但并不是无规律所寻，给定了空间的一个点光源G(15,y1,0) ，（其中 ），再给定抛物面T: （上的一任点P(x0,y0,z0),则反射光线就可以根据y1,x0,y0,z0这四个参数唯一确定了。下面我们就根据光的微观粒子性结合反射光线的曲线分布建立光子跟踪模型。这一模型的主要思想是把光能粒子化，及时纪录每一个“光子”的运动轨迹，判断

9、最终到达屏上的具体位置。最后把每个小面积区域内的“光子”总数进行叠加，就得到了屏上光通量的分布图，进而求出光照度和光强度的分布。例如对于点光源G(15,y1,0) ，（ ），设其光通量为，单位时间内辐射出的“光子”数为M(为提高精度，M可以取得大一些，如1000，000个)，则每个光子所带能量为/M（一秒钟内）,且这些“光子”围绕G点在空间是均匀发射的。一部分“光子”通过灯泡外玻璃壳直接射出（这一部分能量非常小，我们在模型的进一步讨论中将继续讨论），绝大多数的“光子”通过抛物面反射一次后射出，还有可能出现“光子”在抛物面反射两次，在反射第二次时，我们设想该“光子”就被牢牢的地粘在了抛物面上（这

10、种情况概率也很小，模型改进中将继续讨论）。通过把线光源选取一定步长dl做为一个点光源，可以得到N个点光源(N=),我们把这N个点光源在屏上某一小区域内的光子数进行求和,就可以求得该小区域内的光照度值我们先分析一下任一个点光源G(15,y1,0) ，（）在抛物面上任一点P(x0,y0,z0)的反射曲线. 为了直观的理解我们在平面上做出了大致反射光线图,实际上这些点图并不是在一个平面上的（见图2）。G是点光源，P是反射点，E是G点关于过P点切平面的镜面对称点，PN是反射方向。由空间解析几何的知识，我们不难得出E点坐标：进而由反射光线PN和屏面方程x=25015可以求出反射光线打在屏上的坐标K(x3

11、,y3,z3),由Mathematica计算结果见下表。公式较长，但我们在用计算机进行模拟时需要用到数据采样：下面我们就给出具体做法，首先要进行数据采样，即是说给定一个点光源G，让它遍历抛物面上的所有点。我们遍历的参数是和 (,0,360degree)。 其中是抛物面上的一点到x轴的垂直距离，垂心为 是以为圆心，为半径上的圆转过的角度。则抛物面方程化为 （如图3）当我们的，定了时，抛物面上一点也定了。，分别变动很小的时，光线将在抛物面上扫出一个小面积dS1， 这个面积非常小，我们可以近似的认为是一个小平面，光线照射就可以看成是镜面反射。我们设想有一个虚拟光源G, G 是G关于dS1的镜面对称点

12、.则从G点反射出的光线完全可以等效看成是从G点直射出的光。设G点通过dS1射到屏上的面积为dS2,由光度学的知识可以得到dS2上的光照度其中dF是点光源G在dS1面上的光通量,d是G到dS2的距离，是从G射出光线与x轴的夹角。给定点光源G，给定，和 时，光线在屏上的位置和照度就唯一确定了。下面我们就建立算法来实现遍历过程。1、 等间距光子跟踪算法step 1 选定点光源步长dl,确定点光源个数N=,每个点光源1秒内通过的光子数为设为M=100000,step 2 将吸收屏均匀分割成面积为ds许多小正方形,记下位置和编号step 3 选定,分别确定和的遍历次数, ,每次遍历对应的dS1通过的光子

13、数记为相同step 4 for(I=1;I=N;I+)for(j=1;j=N1;j+)for(k=1;k0的图象，）。由图可以看出斜率是单调下降的，x0=0处斜率最小，但不为0 ，原因是y1不等于0，y1越大，图象在y轴的截距也将大些。由图象的单调性我们可以推知，线光源长度下界应满足的临界条件是点光源G(15,y1,0)在（21.6,-36,0）处的反射光线恰好过C点，由于只考虑了（21.6,-36,0）的情况，还应该考虑（21.6,36,0）点的情况，二者求出的较小一个2 y1值就是长度下界。对于长度上界满足的邻界条件刚好相反。临界条件是点光源G(15,y1,0)在（21.6,36,0）处的

14、反射光线恰好过C点。经过解方程计算得到=/2 =1.58202, 即3.077623.16404 这就是灯丝长度的范围。 上面考虑的是单位长度光通量一定时候，线光源长度应满足的条件。如果我们把线光源的总功率看成是一定的，则单位长度的光通量是随线光源的长度而变化。因此的上界就不能用上面的方法去判定。但下界是一样的，因为下界是一个突变的过程，如果线光源长度少于下界值 =3.07762，是不可能有光到达C点的。 对于上界也可以定性判断规律，当线光源长度超过3.16404时，B,C两点的光强度是随的增大而减少的。这是因为超过3.16404的部分不会再照到B,C上，但由于总功率一定，长度在3.07762

15、=2P时,C点光照度必满足=P;当B点光照度大于等于C点光照度2倍时, 制约额定功率P大小的必要条件是C点光照度,因为,当C点光照度满足=P时,B点光照度必满足=2P;我们是在功率一定的条件下对线光源长度进行模拟搜索,所得数据点经过拟合处理后,得到上面的两条曲线,当L增大时;起初, B点光照度大于等于C点光照度2倍, B是制约额定功率P大小的主要因素,经过一段距离后,B点光照度小于等于C点光照度2倍, C成为制约额定功率P大小的主要因素;综合分析得L/2=2.1685倍附近时,得到满足在功率一定的条件下的最大额定功率条件,而原题恰好是一个逆向思维,当额定功率一定时,分析求解满足最小功率条件的线

16、光源的长度,可见,这于固定功率,求可满足的最大额定功率是等价的。我们作出了在线光源长度L=4.337mm情况下屏上的反射光亮区（见图11），这即是第二问的答案 四、 模型的进一步讨论： 前面的模型都是不考虑直射的情况得出来的，实际上射到屏上的一部分光还有来自于灯泡直射的部分。因此严格的说光斑的形状还要大些，但也不是圆形，而应该接近于椭圆型。只是由于直射部分的能量占的比重太小，看起来还是心型起绝对作用。但这也反映了设计规范性的合理问题。 下面我们就来推导一下直射时光照度应满足的规律设点光源G(15,y1,0) ，所带光通量为Qdy1,直射到屏上AC方向的坐标为M(25015,y3,0)则该点光源

17、在M点的光照度为 那么线光源在M点的光照度就是这些点光源在该点的积分(y1) 将这一部分光强也考虑进去，我们得到更加合理的线光源长度值L=4.337mm这个值比仅考虑反射的情况要稍微大一些。但也可以看出直射光线的能量相对于反射光线的能量是很小的一部分，近似计算中完全可以不考虑。另外还需要考虑2次反射的情况，可以根据反射光线与抛物面方程的交点来判别是否出现2次反射。如果有两个交点就会出现二次反射。二次反射在实际生活中一般是有能量损失的。为了设计更加合理，我们可以对发生二次反射的光线进行加权处理，比如我们可以设所有发生二次反射的光线能量损失10%。对本题我们进行模拟求解，得到的L=4.303mm，

18、这个长度和不考虑二次反射的值完全一样。我们可以认为几乎没有光线发生二次反射或者说是只有几跟光线发生二次反射。对于本题而言可以不考虑二次反射，但对于焦距比较大的抛物面而言，出现二次反射的机会增多，就不能不考虑了。图12是考虑这两种情况时的流流程图。下面我们再讨论一下模型的规范性，我们认为该规范设计至少在三个方面是合理的。（1）、线光源与地面平行。这样设计后的光照度分布是心形形状。且水平轴要比垂直轴的长度大。实际生活中车灯射出的光也是要水平方向的宽度尽量大。垂直方向上的跨度过大是没有多大的实际意义的。（2）、最大程度上利用了光能的效率。该设计要求功率最小，又要使B,C点光强度达到一定标准。自然就要

19、使B,C区域外浪费的光能最小,因此提高了效率.（3）、简化了操作步骤。该规范设计中不考虑直射和二次反射，因此工作量减少了许多。实际上这种假设也是合理的，因为我们经计算发现考虑直射和二次反射对模型几乎没什么影响。五、 模型的评价 本模型由于反射光线比较杂乱，不容易由解析方法求出最优解，所以我们借用物理上的光子追踪原理用计算机进行模拟求解。该模型至少有以下几个优点。（1） 思路清晰，算法比较容易理解，方便实行。（2） 可移植性好，可以推广到其他类型的曲面。（3） 作图方便，可以用计算机得到的数据进行光斑亮度拟合，这是一般解析法无法实现的。 但模型也存在不足之处，主要是计算结果精度不足，不能从理论上证明结果的最优性。但就数学建模本身而言，最重要的是符合实际，让人可以接受。我们得到的线光源长度虽然不是最优解，但已逼近最优解，也是很让人满意的。图12