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1、1, 1.3 逆 矩 阵,一、逆矩阵的定义,二、用行初等变换求逆矩阵,二、逆矩阵的运算性质,2,则矩阵 称为 的逆矩阵或逆阵.,在数的乘法运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数,（或称 的逆）.,在矩阵的乘法运算中，,单位阵 I 相当于数1的作用,对于矩阵A ，,是否有一个类似于,使得,一、逆矩阵的定义,1.概念的引入,3,2.定义,由定义 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆的.,4,例 设,且,5,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,逆矩阵的求法一：待定系数法,6,验证:,所以,此法对于高阶不适合.,7,单位阵：,对角阵：,不存在
2、,k=0时，,想一想,零矩阵：,数量矩阵：,8,若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,证明,3.唯一性,若设 和 是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,9,推论,意义,(此推论将在2.2中证明),10,二、逆矩阵的运算性质,11,证明,12,证明,13,注意,但,不可逆,14,注意,可逆,15,例,证明,16,练一练,17,(2),若A+I 可逆.,18,解,练一练,19,问题 初等矩阵可逆吗？其逆阵呢？,初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍为初等矩阵,20,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是可逆的； 2. AX = 0只有零解； 3. A与I 行等价； 4.
3、A可表为有限个初等矩阵的乘积.,“12”:,证,设X是AX = 0的解, 则,所以 AX = 0只有零解.,“12”; “23”; “34”; “41”.,证明过程,21,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是可逆的； 2. AX = 0只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,“23”:,证,等于未知量个数n,22,由条件，A可经行初等变换得I.,“34”:,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是可逆的； 2. AX = 0只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,23,显然（ ？）,“41”:,由于
4、初等矩阵可逆,它们的乘积也可逆.,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是可逆的； 2. AX = 0只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,24,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是可逆的； 2. AX = 0只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,推论 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,1. A是不可逆的； 2. AX = 0有非零解； 3. A不与I 行等价； 4. A不可表为有限个初等矩阵的乘积.,25,推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件 是A可逆.,证 充分性,必要性
5、,设A不可逆,令Y=C+Z,(反证法),与AX = b有唯一解矛盾., AX = O有非零解Z,则Y为AX = b的解，,若A可逆,若AX =b有唯一解C,26,类似的,若A可逆,27,三、 用行初等变换求逆矩阵,设A可逆，,所以存在初等矩阵E1, , Ek, 使得,28,解,例,29,30,求A的逆矩阵,解,A不可逆.,练一练,31,在求矩阵的逆时，若作行初等变换时, 出现全行为0，则可知矩阵不可逆!,用初等行变换求逆时, 必须坚持始终, 不能夹杂任何列变换.,注意,32,求解矩阵方程 AX=A+X,其中,解,( A-I ) X = A,把所给方程变形为,练一练,33,34,35,例 设 求,解,易求,36,37,1. 逆矩阵的概念、唯一性.,小 结,2. 逆矩阵的运算性质.,38,(2)利用行初等变换求逆矩阵,4. 逆矩阵的计算方法,3. 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,(1) A是可逆的； (2) AX = O只有零解； (3) A与I 行等价； (4) A可表为有限个初等矩阵的乘积.,5. 利用逆矩阵求解矩阵方程.,39,作业 P39 3 ，5 (2) ，7,4 (1) (3) ，8 (3) ，9 ，13,