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1、大学数学与中学数学的联系,华东师范大学数学系 陈月兰,E-mail：,2008.11.17山东淄博初中骨干教师,图形的对称与群 数系的扩充 同余 数学证明,一.对称 1.1.人们身边充满了对称: 比如:,对称与群,对称与群,以上我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识，下面（主要是封闭的平面图形）要考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。 什么是对称的共性？什么是对称的本质？ 下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“元多项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称”的统一的本质。,对称与群,二:平面图形的对称 2.1 在运动中看 “对称”,正方形绕中
2、心旋转,顺时针旋转90,r1,如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?,定理1（几何形式M.Chasles(1793-1880)）平面的运动有且仅有下列三种： 沿任一给定向量的平移； 以任意点为中心的旋转； 绕某以直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移（包括作纯翻摺）。,对称与群,抽象观点与具体例子的对照,对称与群,描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法. 这就是把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起, 构成一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”. S(f)中元素个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.,群的定义（定义4）,所谓群，是指一个特定的集合，该集合上的一种运算满足一
3、定的性质. 具体来说，即： G是一个群，是指 （1） G是一个集合； （2）存在二元运算（记为 ），它是 的一个映射； （3）关于二元运算满足群公理 （i）结合性公理 对的任意元素 ，都有 ； （ii）单位元素公理 在G中存在元素，使得对G中任何元素，都 有 （iii）逆元素公理 对G的任何元素，都存在G中的唯一元素 ，使得.,群在中学数学中的实例,（1）全体整数、全体有理数、全体实数、全体复数，关于通常的加法都构成群，单位元是0，a的逆元素是-a. 正有理数全体，正实数全体，关于通常的乘法也都构成群，单位元都是1， a的逆元素是1/a. （3）由整数1和1组成的集合， 关于乘法构成群。,生活
4、中的群,例、四元旋转群. 记G=L、R、H、I，其中L表示向左转，R为向右转，H为向后转，I为不动. 上定义的二元运算为“接着”，如LR表示先向右转再接着向左转，其余类推. 容易验证，G关于这一运算确实构成一个群,正方形绕中心旋转,顺时针旋转90,r1,如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?,正方形绕中心旋转,顺时针旋转90,累积180,r2,正方形绕中心旋转,顺时针旋转90,累积270,r3,正方形绕对边中点连线（铅直）翻摺,f1,正方形绕对边中点连线（水平）翻摺,f2,正方形沿对角线翻摺,f3,正方形沿对角线翻摺,f4,正方形的对称群是由下列平面运动组成 S（正方形）=I，r1，r2，r
5、3，f1，f2，f3，f4,对平面有限图形对成群的研究和分类，发现只可能出现如下6种不同情形,（1）仅由单位（恒等或不动）变换所组成的对成群K1 。这是任意非对称图形的对成群。,（2）由单位变换及关于某一直线的翻折组成的对称群K2 。,（3）只有一些旋转组成的对成群K3，但其中不含作任意小角度的旋转情况。,（4）只有一些旋转组成的对成群K4，但它含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角度的旋转仍属于群K4。这里的所有的运动或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的翻转。这是平面上有方向的圆环的对成群。,（5）设在平面上有n条过重心o点的直线，这些直线分平面为2n个等角。对称群K5由 关于这些直线的n
6、种翻转以及绕o旋转 的倍角而生成。具有这样对称群的图形包括正2n边形。,（6）由绕o点所有旋转及关于所有过o点的直线的翻转生成的对成群K6 。无方向圆及无方向圆环可作为它的例子。,数系的扩充,N Z QR C 元素 运算,数系扩充的方法： 初等数学 添加元素 高等数学 构造法（目的、造元、嵌入） 构造：造元、定义运算、解决运算 利用商集造元 数系扩充后的得失,自然数的性质 整数的性质 有理数的性质 无理数的性质 实数的性质 复数的性质,质数的基本性质 质数的排列有否规律 同余概念,复数不能比较大小,序结构（代数结构 拓扑结构） 大小序,对于复数集来说，可以按字典顺序排成全序，但不能满足保序性，因此无法比较大小. 先证明复数集C可按字典顺序排成全序 任意, C =x1+y1i ，=x2+y2i=规 定,但是乘一切正数的保序性不满足。 这里一切正数是指复数中按字典顺序 =（x，y）（0，0）， 而（x，y）（0，0），x0或x=0，y0。 复数不能保证乘任何“正数”保序。 反例：i即（0，1），显然（0，1）（0，0） 但（0，1）*（0，1）（，0） * （0，0）。 （-1，0） （0，0）,谢谢！,