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1、第二节 换元积分法,一、第一类换元法,通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个 函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分 的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分 方法. 第一换元积分法也称为凑元法。,定理1 设u =(x)在区间a, b上可导,g(u)在.上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且,证明: 用复合函数的求导法则，验证,第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成 g(x)(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作， 要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些 三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某 项等方法.但不同的方法得到积分的结果
2、往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数. “凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(x),例1,例2,的积分，,对于形如,当m, n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.,例3,例4,例5,(1)关于自变量是线性形式,例如,(2)被积函数可写成,常见的凑元法有以下几种情况:,的形式，例如,(3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如,(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如,(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如,(6)被积函数可写成,(7)利用三角函数公式,常用的三角形式: 倍角公式,积化和差公式
3、,的形式,例如,此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等 例如,例6,例7,例8,例9,例10,例11,例12,例13,例14,例15,例16,二、第二换元法,定理 设x=(t)是单调, 可导的函数, 并且 (t)0, 又设 f (t)(t)具有原函数(t), 则有换元公式,成立，其中,是x =(t)的反函数.,证明:,公式成立是有条件的. 1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分. 2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的 存在. 常用的变量代换有下列四种类型：,利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单,当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰 当的
4、三角恒等式作三角代换. 例如对,1、 三角代换,例1 求,解:,例2 求,解:,例3 求,把x a及 x -a的结合起来, 我们得到,从上面的例子可看出:,可作代换 x = a sin t化去根式;,，,如果被积函数含有,，,可作代换 x=a tan t化去根式;,如果被积函数含有,如果被积函数含有,，,可作代换x=a sect化去根式;,但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简 捷的代换. 例如,当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积 函数有理化.,例4 求,还有一部分采用反三角函数代换，例如,例5 求,2、根式代换,目的是将无理数变成有理数,便于积分,例6,求,3、倒数代换,，应用双曲代换,例7 求,4、双曲代换,当被积函数含有根号,时有类似的结果,综合得到,下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作 为积分公式处理.,例8 求,解:,例9 求,解:,例10 求,解:,利用上述结果进行二次根式,的有理式积分,例11,例12,例13,