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1、第一章 导数及其应用复习,临清实验高中 数学组,本章知识结构,微积分,导数,定积分,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,面积,功,积分定义的含义,微积分基本定理的含义,微积分基本定理的应用,路程,定积分概念,微积分基 本定理,最优化问题,函数的平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,函数的瞬时变化率,导数,返回,导数的运算法则:,1:两个函数的和(差)的导数,2:两个函数的积的导数
2、,3:两个函数的商的导数,返回,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,返回,1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内,定理,f (x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,返回,2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)
3、函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注：导数等于零的点不一定是极值点,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,函数的最大（小）值与导数,返回,复合函数的导数:,注:y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,复合函数y=f(g(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:,返回,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积
4、用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,定积分的定义,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取极限得到解决.,定积分的定义：,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a
5、 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,积分下限,积分上限,说明： (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，,(2)定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,定积分的基本性质,性质1.,性质2.,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,定理 （微积分基本定理）,牛顿莱布尼茨公式,如果f(x)是区间a,b上的连续函数, 并且F(x)=f(x),则,(1)匀变速
6、运动的路程公式. 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)0)在时间区间a,b上的定积分， 即 (2)变力作功公式 一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向,从x=a移动到x=b (ab)(单位：m),则力F所作的功为,例1已经曲线C：y=x3x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？,解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为： y2=2(x1), 即 y=2x,变式1：求过点A的切线方程？,例1已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？,解：变1：设切点为P（x0，x0
7、3x0+2），,切线方程为 y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0) 化简得(x01)2(2 x0+1)=0，,当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k= f/(x0)= 3 x021，,当x0= 时，所求的切线方程为： y2= (x1),即x+4y9=0,变式1：求过点A的切线方程？,例1：已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？,变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x1，则Q点坐标为 _, 切线方程为_,(2,8)或
8、( 2, 4),y=11x14或y=11x+18,例4 已知函数f(x)=x3-x，其图象记为曲线C. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2).曲线C与其在点P2处 的切线交于另一点P3(x3, f(x3)， 线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭 图形的面积分别记为S1,S2，则 为定值.,【解析】(1) 令f(x)0得到x 或x- ，令f(x)0有 因此原函数的单调递增区间为 (-,- ) 和( ,+)；单调递减区间为(- , );,(2)f(x)=3x2-1，P1(x1,x13-x1)，f(x1)=3x12-1， 因此过点P1的切线方程为： y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即 y=(3x12-1)x-2x13，由 得x3-x= (3x12-1)x-2x13,所以x=x1或x=-2x1， 故x2=-2x1，进而有,用x2代替x1，重复上面的计算，可得x3=-2x2和 又x2=-2x10， 因此有,返回,过p(x0,y0)的切线,1) p(x0,y0)为切点,2)p(x0,y0)不为切点,