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1、第五单元考研真题解,1.（1991）设曲线,都通过点（1，0），且在此点有公共切线，则,a=_,b=_,c=_.,2.（1991，6分）假定曲线,x轴和y轴所围区域被曲线,的两部分，,分成面积相等,其中a是大于零的常数，试确定a的值。,3（1991,8分）某厂家生产的一种产品同时在两个,市场销售，售价分别为,，销量分别为,需求函数分别为,总成本函数为,，试问厂家如何,确定两个市场的售价，能使获得的总利润最大？,最大利润是多少？,4.（1992）设商品的需求函数为Q=100-5P，其中,Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的,绝对值大于1，则商品价格的取值范围为_ （同四）,5.（199
2、2，9分）设曲线方程为,所围成的平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，,求此旋转体的体积,求满足,的a。,（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两坐标,轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积。,0,6.(1992,6分,四),7.（1993,9分）设某产品的成本函数,需求函数,（即产量），,其中C为成本，q为需求量,p为单价，a、b、c、d、e都是正常数，,且db,求,（1）利润最大时的产量及最大利润。,（2）需求对价格的弹性。,（3）需求对价格弹性的绝对值为1时的产量。,8.（1993,7分,四）,9.（1994,8分）已知曲线,(a0)与曲线,在点,处有公共切线，求：,（1）常数a及切点,
3、（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得,旋转体的体积,（同四）,1,0,10（1994，四）,解,如图,11（1995,9分)求二元函数,上的最大值与最小值.,12（1995，6分）设某产品的需求函数Q=Q(P),收益函数R=PQ，其中P为产品价格， Q为需求量,（产品的产量），Q(P)是单调减函数，如果当价格为,对应的产量为,时，边际收益,收益对价格的边际效应,需求对价格,的弹性为 =b1,求,（同四）,13（1996）设,是抛物线,上的一点，若在该点处的切线过原点，,则系数应满足,的关系式为_。,14（1996，6分）设某种商品的单价为p，,售出的,商品数量Q可以表示成,其中a，b
4、，c,均为正数且abc。,（1）求p在何范围内变化，使相应,收益增加或减少。,（2）要使收益最大，商品单价p,为多少？最大收益是多少？,（同四）,15（1996，9分，四）,1,3,16（1997，6分）一商家销售某种商品，其价格满足,关系,(万元/吨)，x为销售量（吨），,商品的成本函数C=3x+1(万元),（1）若每销售一吨,商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润,时的销售量。 （2）t为何值时政府的税收总额最大。,17（1997，6分，四）,18（1997，7分，四）,旋转一周,所得旋转体体积。,1,2,3,19（1998）设周期函数f (x)在,内可导，,周期为4，又,则曲线,
5、y=f (x)在点（5，f (5)）处切线的斜率为,（A）1/2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 （同四）,20（1998，6分）,设某洒厂有一批新酿好的好酒，,如果现在（假设t=0）就出售，,总收入为,元，如果,窖藏起来待来日按陈酒价格出售，,t年未总收入为,假设银行的年利率为r，,并以连续复利计息，,试求窖藏多少年可使总收入的现值最大，,时的t值。,并求r=0.06,（同四）,21（1998,9分,四）,a,1,a,1,22（1999，6分）曲线,的切线与x轴和y轴,围成一个图形，记切点的横坐标为，,试求切线方程,和这个图形的面积。,当切点沿曲线趋于无穷远时，,该面积的变化趋势如何？
6、（同四）,23（1999，6分）设生产某种产品必须投入两种,分别为两要素的投入量，,若生产函数,Q为产出量，,其中，为正常数，,且+=1。,假设两种要素的价格分别为,试问：当产出量为12时，,两要素各投入多少可以,使得投入量的总费用最小？ （同四）,要素，,24（2000,6分）假设某企业在两个市场上出售同一种,产品，两个市场的需求函数分别是,的价格（单位：万元/每吨），,分别表示该,产品在两个市场的销售量（吨），并且该企业生产,产品在两个市场的销售总量，即,(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上,该产品的销售量及其价格，使该企业获得最大利润。,(2)如果该企业实行价格无差别策略，
7、试确定两个市场,上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业获得,最大利润，并比较两种价格策略下的总利润大小。,（同四）,25(2001)设生产函数为,其中Q为产出量，,L为劳动投入量，K为资本投入量，而,均为大于零的参数，,则当Q=1时，K关于L的弹性为_。,（同四）,26(2001,7分)已知抛物线,在第一象限内与直线x+y=5相切，,且此抛物线与x轴,围成的平面图形的面积为S，,S达到最大？,问（1）p和q为何值时，,（2）求此最大值。,（用直接代入或取对数法改变目标函数）,27（2001，7分，四）,绕y轴旋转而成的旋转体体积,28（2002，7分）设 是由抛物线 和直线,a,2,0,29
8、（2002，7分，四）,30（2003，8分，四）,31（2003，9分，数学四）,32.(2004,9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格,Q为需求量.,（1）求需求对价格的弹性,(2) 推导,（其中R为收益）,并用,说明价格在何范围内变化时，降低价格,反而使收益增加。（同四）,弹性,33（2004，四，9分）设,S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积，对任何t0,表示矩形,的面积，求,（1）,的表达式。,（2） S(t)的最小值。,-t,t,34.(2005，8分，四) 求,在椭圆,上的最大值与最小值。,解法一,先求f(x,y)在D内的驻点,再求边界上的最值,所以最大值为
9、3，最小值为-2。,解法二,第一步与解法一相同，求D内驻点（0，0），,函数值为2,第二步用拉格朗日乘数法求边界上最值,令,求得4个驻点,求函数值得到相同结果。,35（2006）设f(x,y)和G(x,y)均为可微函数，且,已知 是f(x,y)在约束条件,G(x,y)=0下的一个极值，下列选项正确的是（ ）,(A) 若,(B) 若,(C) 若,(D) 若,解,满足,由（1）若,再由（2）有,36.（2006，9分）在xoy坐标面上，连续曲线L过,的斜率与直线OP的斜率之差等于,（2）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为,时，确定a的值。,点M（1,0），其上任意点,处切线,（1）求L的方程
10、。,解 (1)设L的方程为y=f(x),则依题意,则,点M（1,0）在曲线上，,所以L的方程为,37（2007）设某商品需求函数,，其中,（A）10 （B）20 （C）30 （D）40,分别为需求量和价格，如果该商品的需求弹性,的绝对值等于1，则价格是（ ）（同四）,解 因为,选（D）,38（2008、10分、四）求函数,在约束条件,和,最大值和最小值。,下的,解,解得,39（2009）设某产品的需求函数为,10000件时，价格增加1元会使收益增加_元。,解 收益函数,而,40.(2010)设函数,具有二阶导数，且,是,的极值，则,在,取极大值的一个充分条件是（ ）,（B）,（C）,（）,（A）,解,41.(2010)设位于曲线,是,的极值，则,，所以,要使,必有,下方，,轴上方的无界区域为,则,绕,一周所得空间区域的体积是_,轴旋转,解,42.(2010) 若曲线,有拐点,则,解,得,又曲线过点,代人曲线方程得,43.(2010,10分）求函数,在约束条件,下的最大值和最小值。,解 令,解得,为最大值,为最小值,