大数定理和中心极限定理.ppt

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1、第6章 大数定理和中心极限定理 6.1 大数定理 6.2 中心极限定理,6.1 大数定理 学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 若随意观察10个学生的身高X1, X2 , X10 ，则10个数据的均值(X1+X2+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 , X100 ，则100个数据的均值(X1+X2+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n(n10000)个学生的身高X1, X2 , Xn ，则n个数据的均值(X1+X2+Xn )/n，随着n的增大而与a接近。,定义 设X1， X2， ，Xn, 是随

2、机变量序列， 如果存在一个常数序列an，对 ，有 则称随机变量序列Xn服从大数定律。,定理1 (辛钦大数定理) 设X1, X2 , Xn 是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，随机变量的频率为 ，则对任意给定的 0，有 定理1的意义：随着n的增大， 依概率意义越来越接近a；而 不接近a的可能性越来越小。 (该定理的证明需要用契比雪夫不等式。）,6.1.1 马尔科夫不等式 若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数 0，有 证明,6.1.2 契比雪夫不等式 若D(X)存在，则对任意常数 0，有 证明,定理1的证明：,6.1.3 伯努利大数定理 (频率收敛于概率

3、) 设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率( )，在每次试验中P(A)=p是常数，设XnB(n，p)，其中n=1,2, ， ( 0p1)则对任意正数0，有 伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 但不能说： 。因为可能有 pn p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。,证明：,6.2 中心极限定理 设X1, X2 , Xn 是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。 定理2 (莱维林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、 (独立同分布的中心极限定理)

4、设X1, X2 , , Xn是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=2 (0+), 则对任意实数x，有,(证明略) 说明：和函数Yn=X1+X2+Xn E(Yn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn) = na D(Yn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) = n2 将Yn“标准化”： “标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):,和函数X1+X2+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。 值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不 一定是正态分布。 定理2的意义：若有无数多种因素X1, X2 ,

5、 Xn 对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+Xn+, 则这些因素综合影响的结果呈现出正态分布。 所以，在自然界中很多问题都可用正态分布研究。,定理2的等价形式 1 Xn 独立同分布， 2) DXn 。 则当n较大时，,例6-1 某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内: ()亏本的概率；()获利不少于10000元的概率。 解,()亏本的概率：,()获利不少于10000元的概率

6、：,定理3(棣莫弗-拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理) 设X1, X2 , Xn 是独立同分布(0-1分布)的随机变量，P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p， (0p1)， i=1,2, 则对任意实数x，有 证明 由于E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,. 代入定理2的公式，a=p, = 有 定理3是定理2的特例，定理3用正态分布逼近两项分布。,设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1), YnB(n,p)。 设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从0-1分布， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p

7、, (0p1), i=1,2, Yn=X1+X2+Xn , 所以定理3的另一种描述方式： 定理3的另一说法(棣莫弗-拉普拉斯定理) 设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1), YnB(n,p)，则对任意实数x，有,这说明：若Yn服从二项分布B(n, p)，计算P(t1Ynt2)可用正态分布近似计算。 (即XnB(n,p)，则当n较大时， )。 若X1, X2 , Xn 是独立的0-1分布的随机变量， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p, (0p1),i=1,2, 计算P(t1X1+X2+Xnt2)可用正态分布近似计算。 对此查正态分布表,当n

8、较小时，误差较大，公式可修正为 (对上式查正态分布表),例6-2 设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？ 解 设每天看电影的人编号1,2,3,1600, 且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。,则X1, X2 , X1600是独立的0-1分布的随机变量。 设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+X1600m-200)0.1 要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。,解法2

9、 设n=1600人中去新影院的人数为X，每个观众选择去新影院的概率为3/4，则XB(1600,3/4)。设座位数是m，按 要求有: P(Xm-200)0.1 要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。,例6-3(合作问题) 设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。 解 设Y为200台设备中在同一时间内发生故障的台数，则YB(200,0.01) np=2000.01=2, npq=20.99=1.98 设备发生故障而不能及时维修的概率为,直接用两项分布计算=

10、0.0517 可见用泊松分布近似的结果更好一些。 但用泊松分布要查多个泊松分布表的数值，而用中心极限定理来近似只需查一个或两个正态分布表的值。,例6-4 已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。 解 从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量X，有XB(600,1/6)。所求概率可表为,如不用中心极限定理，则应如下求解：,书面作业：P103104 6-1 6-2 6-5 6-7 6-9,作业评讲： 1.,2.,3.,4.,5.,8.,10.,例题讲解 一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为

11、 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解 虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5 选答案(2),二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X, Y必有 。 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X

12、,Y)=0 X,Y不相关。,三、设随机变量X和独立同分布, 且 P(X=k)=1/3, k=1,2,3 又设X=max(X,),Y=min(X,)。(1)试写出(X,Y)的 联合分布律；(2)求E(X)。 解 (1) 由于X=1,2,3, =1,2,3 所以，X=1,2,3； Y=1,2,3 当ij时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j) =P(X=i,=j)+P(X=j,=i) =P(X=i)P(=j)+P(X=j)P(=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j) =

13、P(X=i,=i)=P(X=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9 当ij时，P(X=i, Y=j)=P(max(X,)=i, min(X,)=j)=0,(X,Y)的联合概率分布律： (2),四、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X与Y的相关系数r=-0.5 由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式 P|X+Y|6c)。 解 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)

14、|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12,五、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求 (1) (X,Y)的联合分布律； (2) 求Y的分布律 解 (1) XP(), 当X=n时，YB(n,p) P(Y=k|X=n)= k=0,1,2,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0 当nk时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n),(X,Y)的联合分布律为： X=n=0,1,2,3, Y=k=0,1,2,3, (2),六、设XnB(n

15、, p). (0p1, n=1,2,)则对任意实数x，有 解,七、(习题5-2) 设X服从几何分布 P(X=k)=pqk ( k=0,1,2, 0p1, q=1-p ) 求EX, DX 解,八、(习题5-5) 证明：当t=EX时，g(t)=E(X-t)2最小，这个最小值是DX 解 g(t)=E(X-t)2 = E(X2-2Xt+t2) = EX2-2tEX+E(t2) = EX2-2tEX+t2 = EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2 = DX+(t-EX)2DX 当t=EX时， g(t)=DX是最小值.,九、(习题5-6) 证明：在一次试验中事件A发生的次数X的方差 DX1/4 解 XB(1, p),十、(习题5-20) 设A和B是一次随机试验的两个事件， 有P(A)0, P(B)0, 定义随机变量X为 试证：若X的相关系数 r=0，则X必相互独立。 证明,十一、设X是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。 解,w的分布律为： w的分布函数：,