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1、1.2.2空间中的平行关系（1）,一. 平行直线,1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.,2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.,3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.,公理4的符号表述为：,a/c，b/c a/b.,公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.,4. 等角定理：,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.,已知：如图所示，BAC和B1A1C1的边AB/A1B1，AC/A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC
2、与A1C1同向，,求证：BAC=B1A1C1.,证明：对于BAC和B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，,下面证明两个角不在同一平面内的情形。,分别在BAC的两边和B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.,因为， 所以AA1D1D 是平行四边形，,所以,同理可得,所以DD1E1E是平行四边形。,在ADE和A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，,于是ADEA1D1E1，,所以BAC=B1A1C1.,5. 空间四边形的有关概念：,（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四
3、边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。,如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线,空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.,6 异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a/a，b/b，由于a、b所成的角的大小与点O的选择无关，我们就把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角.,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,空间两条直线的位置关系有三种：,例1.已知：如图，空间
4、四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。,证明：在ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以,EH/BD，EH= BD，,同理，FG/BD，FG= BD，,所以EH/FG，EH=FG，,所以四边形EFGH是平行四边形。,例2如图：在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EFA1C1.,证明:连结AC. 在ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点. 所以 EF AC,又因为 AA1BB1 且 AA1 = BB1 BB1CC1 且 BB1 = CC1,所以 AA1CC1 且 AA
5、1CC1,即四边形AA1C1C是平行四边形,所以ACA1C1,从而 EFA1C1.,例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证：C1E1B1 = CEB.,分析：设法证明E1C1EC, E1B1EB.,(1) 下列结论正确的是（ ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交,D,练习 题,(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ ） 三条相互平行的直线必共面； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 一个也不正确,D,(4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形,(3).空间两个角、, 与的两边对应平行, 且600, 则等（ ） A. 60 B. 120 C. 30 D. 60或120,D,B,5. 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1 平行的棱共有条,3,C,7.如图，已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 且AA1BB1, BB1CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证：ABC A1B1C1.,