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1、,一阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第十二章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边同除以 x 即为齐次方程
2、 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变方程为,两边乘积分因子,用凑微
3、分法得通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P326 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P327 题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化
4、成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,提示: 为贝努里方程 , 令,提示: 为全微分方程 , 通解,提示: 可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程化为, 即,则,故原方程通解,提示: 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程 ,利用个性确定
5、定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 求解过程参考P273例3 ),( 齐次方程 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 能否根据草图列方程?,练习题:,P327 题 5 , 6,P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程
6、.,提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P327 题6. 已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,提示: 设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,( 假定输入的新鲜空气,输入 ,的改变量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,t = 30 时,解定解问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气 .,初始条件,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,k = ?,作业 P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,