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8.1.1向量的概念,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,零向量：,模长为0的向量.,向量的模(向量的大小)：,模长为1的向量.,单位向量：,或,或,一、向量的概念,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,两向量的夹角的概念：,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,两向量平行与共线：两向量方向相同或相反。,1 加法：,平行四边形法则,特殊地：若,分为同向和反向,三角形法则 (首尾相连),二、向量的线性运算,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,减法,三角形法则 (首尾相连),2 向量与数的乘法,例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,还可得,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,3 数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性： 设,两式相减，得,4 数轴上的向量,建立一条数轴及轴上的单位向量,.,数轴上的点 与其坐标 及向量 一一对应。,若 则,