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1、有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很
2、好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。【解析】设MN切圆C于N，则。设,则 化简得
3、（1） 当时，方程为，表示一条直线。（2） 当时，方程化为表示一个圆。如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，.由已知，得.因为两圆半径均为1，所以.设，则，即.(或)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出
4、轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程；【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为； 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过
5、B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为：l O PE D C B A 评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、相关
6、点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2又PQ
7、垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0由解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：（几何法）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以
8、T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）.求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）OAOB，OB：由解得B设AOB的重心G（x，y），则消去参
9、数k得重心G的轨迹方程为解法二：设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为。如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难
10、掌握的一类问题。 2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。 3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。 4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A
11、（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程为 由消去得yA+yB即得， 即得。所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p
12、,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。五、向量法：图6例6 、（1995全国理）已知椭圆如图6，1，直线L：1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：1.高考方向要把握 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2.“轨迹”、“方程”要区分
13、 求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。 3.抓住特点选方法 处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。 4.认真细致定范围 确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面： 准确理解题意，挖掘隐含条件； 列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价； 消参时要保持范围的等价性； 数形结合，查“漏”补“缺”。 5. 平几知识“用
14、当先” 在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归。 6.向量工具“用自如” 向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。 巩固练习：1. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为 ( ). A. B. C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-y2-30x+63=0(目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤, 同时掌握双曲线第二定义, 避免错误使
15、用) 答案: D 解析: , 两边平方即得3x2-y2-30x+63=02 . P是椭圆上的动点, 作PDy轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( ). A. B. C. D. (目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤, 理解其适用的题型) 答案: D 解析: 设PD中点为M(x, y), 则P点坐标为(2x, y), 代入方程, 即得.3. 已知双曲线,(a0,b0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是( ). A. B. C. D. (目的: 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路, 理解相交点轨迹方程的解题技
16、巧)答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M与A2N交点为P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则A1 M的方程是,A2M的方程是, 两式相乘, 结合即得.4. 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是( ). ( B )A. (x-1)2=-8(y-1) B. (x-1)2=-8(y-1) (x1) C. (y-1)2=8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x1) (目的: 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量, 是重要的解题方法)答案: B 解析: 设焦点为
17、F, Q(x,y), 则由抛物线定义得: , 化简即得 5. ABC中, A(0,-2), B(0,2), 且成等差数列, 则C点的轨迹方程是 . (目的: 求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性)答案: 解析: , 知: C点轨迹是以A、B为焦点, 且2a=8的椭圆6. 若A点是圆(x-2)2+(y-2)2=1上的动点, 点B(1,0), M分AB的比为2:1, 则M点的轨迹方程是 . (目的: 熟悉代入法及定比分点坐标公式) 答案: 解析: 设A(x1, y1), M(x, y), 则由定比分点公式得: , , 代入(x-2)2+(y-2)2=1即得7. 直线与x、y轴交点的中点的轨迹方程是 . (目的: 理解参数法及其参数限制对方程的影响, 注意解题的完整性)答案: x+y=1 , 解析: 设直线与x、y轴交点为, A、B中点为M(x, y), 则, 消去a, 得: x+y=1, 9