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,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 ,例如,即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,证,二、行列式按行(列)展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,补例: 利用范德蒙行列式计算,例 计算,利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由 范德蒙行列式知,评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行 列式化成范德蒙行列式,推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开,得,例 计算行列式,解,1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,练习:,