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1、二、 图乘法计算直梁和刚架的位移,下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移,例16.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移,CV。梁的EI=常数,第16章 静定结构位移计算,解,MP、,图分别如图 (b).(c)所示。,BC 段的MP图是 标准二次抛物线；,AB段的MP图 较复杂，,但可将其分解为 一个三角形和一 个标准二次抛物 线图形 。,第16章 静定结构位移计算,由图乘法得,第16章 静定结构位移计算,代入以上数据,于是,第16章 静定结构位移计算,例16.5 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv,第16章 静定结构位移计算,解,荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。,在AB段, MP和,
2、图均是三角形；,在BC段，MP图,可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图即图b中虚线与曲线之间包含的面积叠加而成。,第16章 静定结构位移计算,将上述各部分分别图乘再叠加，即得,第16章 静定结构位移计算,例16.6,试求图 (a)所示刚架结点B的,BH。,水平位移,设各杆为矩形截面，截面尺,寸为bxh，惯性矩l= ,E为常数，只,考虑弯矩变形的影响。,第16章 静定结构位移计算,解,先作出MP图和,图,分别如图 (b)(c)所示。,第16章 静定结构位移计算,应用图乘法求得结点B的水平位移为：,第16章 静定结构位移计算,16.5 静定结构由
3、于支座位移所引起的位移,静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。,如图 a所示静定结构,其支座发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3，,现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移,K。,第16章 静定结构位移计算,这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计 算的一般公式,因为从实际状态中取出的微段ds的变形为d,=du=,于是上式可简化为,K= -,Ci,第16章 静定结构位移计算,这就是静定结构在支座位移时的位移计算,公式。式中,为虚拟状态图b的支座反力，,Ci为实际状态的支座位移，,Ci为反,力虚功。当,与实际支座位移Ci 的方向一致时其乘积取正，相反时取
4、负。,此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。,第16章 静定结构位移计算,例16.7,图 (a)所示静定刚架，若支架A发生图示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.,cH、竖向位移,Cv。,试求C点的水平位移,第16章 静定结构位移计算,解,在C 点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座反力如图 (b) (c) 所示。,第16章 静定结构位移计算,由公式,K= -,Ci,得：,cH=-(11.0-11.5)=0.5cm,cv=-1.51=-1.5cm,第16章 静定结构位移计算,16.6 互等定理,一、功的互等定理,图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2，,称之为第一状态和第二状态
5、。,第16章 静定结构位移计算,虚功 W12为,虚功 W21为,第16章 静定结构位移计算,比较，得,W12=W21,即,一般形式为,第16章 静定结构位移计算,因此得到功的互等定理：,第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。,第16章 静定结构位移计算,二、位移互等定理,条件：在结构的两种状态中都只作用一个 荷载， 且为单位荷载。,单位荷载所引起的位移称为位移系数，用,表示（图a.b）,第16章 静定结构位移计算,根据功的互等定理,即,这就是位移互等定理：,第二个单位力所引起的第一个单位力作用 点沿其方向的位移，等于第一个单
6、位力所 引起的第二个单位力作用点沿其方向的位 移。,第16章 静定结构位移计算,上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。,可能含义不同，但数值相等,即,第16章 静定结构位移计算,三、反力互等定理,反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。,单位位移引起的支座反力称为反力系数，用ri j表示,第16章 静定结构位移计算,根据功的互等定理，有,即,这就是反力互等定理，它表明支座1发生 单位位移所引起的支座2的反力，等于支 座2发生与上述反力相应的单位位移所引 起的支座1的反力。,第16章 静定结构位移计算,应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。,可能r12与r21 一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等（图 c、d ）。,即,第16章 静定结构位移计算,