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1、第二节 中心极限定理,客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的极限分布.,下面介绍常用的三个中心极限定理。,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,，则,定理表明：当n充分大
2、时，标准化随机变量,近似服从标准正态分布.,由此可知：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和 近似地服从正态分布,解：设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数，,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理, 有,则,(1),(2),例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少达400 (元)的概率,解：设第i只蛋
3、糕的价格为Xi，i=1,2,300,则Xi的分布律为,由独立同分布中心极限定理知：,即,定理2(德莫佛拉普拉斯中心极限定理）,设n重贝努利试验中事件A发生的次数为n,事件A在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实数x,总成立,定理表明：若 服从二项分布，当n很大时，,由此可知：当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 近似服从正态分布 N(np,np(1-p).,分布.,例3 某次课堂测验，有200道选择题，每一题有4个答案.试问一位完全不会的学生，想凭着猜测的方法回答此200题中的80题，而答对25题至30题的概率是多少？,设答对的题数为X，则,解:,XB(80,0.25),例4 某电视机厂每周生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品显像管，该车间每周应生产多少只显像管？,解:设该车间每周生产n只显像管，其中正品的个数为X，则,XB(n,0.8),即：,查表，知,从而得：,即该车间每周至少应生产12655只显像管，才能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品显像管.,定理3 （李雅普诺夫中心极限定理）,则,