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1、,第 一 章刚体的转动,学习目标,1.掌握力矩、转动惯量、转动动能、角动量等概念； 并且熟练掌握转动定律、角动量守恒定律及其应用。 2.熟悉刚体定轴转动的角量描述。 3.了解进动产生的原因。,本章主要研究刚体（rigid body）这一理想模型的定轴转动规律。这一部分内容是以质点运动学和动力学为基础的。 质点运动学和动力学的有关知识的简要回顾，请先参考本章最后的附录。 更为详细的内容请参考有关教科书。,第 一 章刚体的转动,第一节 刚体的定轴转动,刚体(rigid body)： 在运动过程中形状和大小都不变的物体。,研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的
2、质点系。,刚体的平动(translation)： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。 这样的运动可以用质点动力学的方法来处理。,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .,一、 刚体定轴转动的角量描述,转动(rotation)： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动 。,定轴(fixed-axis)转动： 转轴固定不动的转动。,第一节 刚体的定轴转动,O,x,P,角坐标：，单位是弧度，rad,角位移：,用角量来描写转动： 定轴处O点与刚体上任一点 P 之间的位置矢量 处于
3、 处，经过t时间后，该矢径转过 角度：,z,第一节 刚体的定轴转动,角速度(Angular Velocity),角速度的大小：,角速度 的方向： 由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。,第一节 刚体的定轴转动,角加速度(Angular Acceleration),若 ， 沿 Z 轴正方向,第一节 刚体的定轴转动,二、匀变速转动基本公式,刚体作匀变速转动时，其运动方程与匀变速直线运动的运动方程相似，其角位移、角速度和角加速度之间有下列关系：,第一节 刚体的定轴转动,对于定轴转动,1. 角速度与线速度的关系,三、角量和线量的关系,2.角加速度与线加速度的关系,
4、第一节 刚体的定轴转动,1.刚体定轴转动具有什么特点？ 2.挂钟表针的角速度方向指向墙里还是墙外？,第一节 刚体的定轴转动,一飞轮作匀变速转动，3s内转过234rad，角速度在3s末达到108rad/s。求角加速度和初角速度。,由匀变速转动运动方程：,消去0，并代入数值，可得角加速度：,进而可求得初角速度：,第一节 刚体的定轴转动,要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。,力矩(moment of force)定义,力矩是矢量：,单位：Nm,一、力 矩,第二节 力矩 转动定律,注意力矩的方向！,如果力F 的方向不在转动平面内，可以沿平行和垂直定轴两个方向分解。平行
5、于轴的力部产生力矩。,力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。,第二节 力矩 转动定律,一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。,O,二、刚体的转动定律,第二节 力矩 转动定律,1）单个质点 与转轴刚性连接,把刚体看作一个质点系，对其上P处的第 i 个质点mi，分析其受力：,应用牛顿运动定律，进行化简：,第二节 力矩 转动定律,2）刚体,对上式两边操作 后，再对所有质点求和，并注意到 ，可以得到：,其中I 为转动惯量(moment of inertia) ：,定轴转动定律：,第二节 力矩 转动定律,刚体定轴转动的角加速度与它所受的
6、合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,通常刚体均为连续体，则：,I 的单位：kgm2。 转动惯量与刚体对给定转轴的质量分布有关。,转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。,三、转 动 惯 量,第二节 力矩 转动定律,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面（1）、（2）和（3）所给定的转轴的转动惯量。 （1）转轴通过棒的中心并与棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并与棒垂直； （3）转轴通过棒上离中心为d的一点并与棒垂直。,o,x,z,（1）在x处取dm ， dm长为dx 。,第二节 力矩 转动定律,（2）转轴通过棒的一端
7、并与棒垂直，此时（1）中的坐标原点取在棒端，转动惯量的计算只改变积分上下限，得,(3) 转轴通过棒上离中心为d 的一点并与棒垂直取转轴与棒的交点为坐标原点O。这时的积分上下限变化了：,平行轴定理（parallel axis theorem）：,第二节 力矩 转动定律,一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,o,R,第二节 力矩 转动定律,右侧列出了一些刚体模型的转动惯量,第二节 力矩 转动定律,质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距
8、离。（2）绳子的张力。,注意到本题中的滑轮是有质量的，是典型的刚体模型，在做定轴转动。 处理刚体问题也是需要先作受力分析。然后对系统中的刚体和质点分别列出方程。,第二节 力矩 转动定律,第二节 力矩 转动定律,1.在讨论刚体定轴转动定律时是否考虑内力的力矩？ 2.如果一个刚体所受的合外力为零，其合外力矩也一定为零？如果一个刚体所受的合外力矩为零，其合外力也一定为零？ 3.转动惯量与质量分布有关系吗？ 4.你做什么姿势和对什么样的轴，转动惯量最小？,第二节 力矩 转动定律,一、力矩的功,功率为：,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,刚体中任一质元 mi 动能：,因此，刚体的转动动能：,二、转动
9、动能,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,对于刚体，同样要考虑保守力、势能、机械能等。,三、刚体定轴转动中的动能定理,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,一质量为 M 、半径 R 的实心滑轮, ，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为 m 的物体。问物体由静止下落高度 h 时，其速度为多大？,本题中绳子中的拉力对刚体做正功，对下落的重物作负功。,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,解得：,也可以从物体的重力势能减少量转化为刚体和重物的动能角度来考虑：,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,1.为什么刚体定轴转动的转动动能的变化只是与外力矩有关而与
10、内力矩无关？,第三节 力矩的功 定轴转动的动能定理,角动量(angular momentum)是用来描述物体绕某定点（轴）旋转的机械运动量。,质点对o 点的角动量：,角动量是矢量：,一、 质点的角动量和刚体的角动量,第四节 角动量 角动量守恒定律,角动量的方向、单位,角动量单位：kgm2/s,第四节 角动量 角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量,对刚体中质元mi 的角动量：,因此整个刚体的角动量：,第四节 角动量 角动量守恒定律,转动定律的另一形式：,转动定律 简单形变：,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。适用范围更广！,二、 角动量定理,第四节 角动量 角动量守恒定
11、律,Mdt =dL,冲量矩、角动量定理,角动量定理： 合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增量。,是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。,第四节 角动量 角动量守恒定律,若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。 自然界重要的普遍规律,三、 角动量守恒定律,第四节 角动量 角动量守恒定律,一长为 l ，质量为 M 的杆可绕支点O自由转动。一质量为 m ，速度为 v 的子弹射入距支点为 a 的棒内，若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少?,角动量守恒（过程1）,机械能守恒（过程2）,由此即可求得子弹的初速度v.,教材例题1-6 也是应用角动量守恒的例子。,第四节 角动量 角动量守恒定律,例 一人坐在可
12、以自由旋转的平台上的轴线处，双手各执一哑铃。设哑铃的质量m=2.0kg，两铃相距2l1=150cm时，平台角速度1=2 rad/s。当将两铃间距离减为2l2=80cm时，平台角速度增为2=3 rad/s。设人与平台对于转轴的转动惯量不变，求人所做的功。,解：对人、哑铃和平台系统，在哑铃距离减小的过程中，合外力矩为零，系统角动量守恒,设人与平台对转轴的转动惯量为J，,在哑铃间距减小的过程中，人所做的功就等于系统转动动能的增量，,例4 荡秋千原理分析（证明）,分析：如图示，用m表示人的质心，一次完整的摆动由以下过程组成。,12：在摆角为时，人迅速蹲下，使有效摆长Om由l 变为 l 。,(1),(2
13、),需要指出的是，人作为一个系统，在站立的过程中，非保守内力作功了，这样才得以使人摆动的动能增加。,45：上摆到人静止。对（人+地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。,(3),（1）、（2）、（3）联立解得：,1.当刚体转动的角速度很大时，作用在它上面的力和力矩是否一定很大？ 2.如果一个质点系的角动量等于零，能否说明系中每个质点都是静止的？如果一质点系的总角动量为一常量，能否说作用在质点系上的合外力为零？ 3.假设人造地球卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的角动量是否守恒？机械能是否守恒？ 4.质点作匀速运动或匀速圆周运动，质点的角动量如何计算？角动量守恒吗？,第四节
14、 角动量 角动量守恒定律,1、进动(precession)现象：,第五节 刚体的进动,2、陀螺进动分析：方向,陀螺受合外力矩：,下一时刻的角动量：,由此决定了陀螺的进动方向！,注意 的方向，并且 的方向要与之一致！,第五节 刚体的进动,进动角速度,3、进动角速度分析,第五节 刚体的进动,设右图中的刚体回转仪处于平衡状态，现将重物右移。则飞轮进动的方向如何？,4、杠杆回转仪的例子,从正上方向下看，此时，合外力矩为逆时针，故作逆时针方向进动！,第五节 刚体的进动,第 一 章刚体的转动,第一章 附录，质点运动学和动力学基本知识回顾,质点模型、参考系、坐标系、坐标 等概念。,速度 、 加速度 等概念，
15、 注意这些量的矢量性。,力 的概念。 牛顿运动三定律是关于力及其作用的基本规律，构成了一个完整的体系。有关物理量的单位制。 在应用牛顿定律解决问题的时候，首先需要做好对物体的受力分析，然后在不同坐标方向上建立牛顿第二定律的方程式，进行解题。,物体做旋转运动时，既有法向加速度（normal acceleration） ，还有切向加速度（tangential acceleration），大小分别为：,物体在力的作用下产生位移，则该力做功，功的定义是：,物体具有速度时，该物体的动能为：,第一章 附录，质点运动学和动力学基本知识回顾,合外力对物体（系）做功可以改变物体（系）的动能，动能定理表达式为：,
16、有一类力做功的大小只与物体运动的起止位置有关，与物体所经过的路径无关。这类力称为保守力（conservative force）。对保守力可以定义势能。重力和弹性力都是保守力，在定义了势能零点以后，它们的势能表达式分别为：,第一章 附录，质点运动学和动力学基本知识回顾,如果一个系统，只有保守内力做功，即外力和非保守内力都不做功，那么系统的机械能（动能与势能之和） 守恒，这就是机械能守恒定律：,一个物体的质量和其运动速度的乘积，就是动量，动量也是一个矢量：,物体动量对时间的变化率就是力。所以牛顿第二定律也可为：,第一章 附录，质点运动学和动力学基本知识回顾,从力和动量关系表达式可以推导得到： 表明物体所受合外力的冲量等于该物体动量的增量。,当一个系统不受合外力或者所受合外力为零，则系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律（law of conservation of momentum）：,要注意以上这些基本概念的辨析，定律定理的使用前提条件。 建议做一些练习，也建议找一些相关的参考书查阅。,第一章 附录，质点运动学和动力学基本知识回顾,