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1、2.2 圆内接四边形的性质 与判定定理,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。,同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.,半 圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径.,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。,圆周角定理,圆心角定理,推论1,推论2,【温故知新】,二.圆内接四边形的性质与判定定理,圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形.,这个圆称多边形的外接圆.,思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢? 一般地, 任意四边形都有外接圆吗?,如果一个四边形内接于圆,那么它
2、有何特征?,如图（1）连接OA,OC.则B= . D=,性质定理1 圆内接多边形的对角互补,将线段AB延长到点E,得到图（2）,（1）,性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。,性质定理1 圆内接四边形的对角互补,性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.,如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.,性质定理的逆命题成立吗？,假设：四边形ABCD中，B+D=180 求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.,C,A,B,D,E,O,A,B,C,D,E,O,证明：(1)如果点D在O外部。则,（1）,（2
3、）,AEC+B=180因B+D=180,得 D=AEC与“三角形外角大于任意,不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。,(2)如果点D在O内部。则B+E=180,B+ADC=180E=ADC,同样矛盾。点D不可能在O内。,综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。,圆内接四边形判定定理,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.,当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法-穷举法,推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.,例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与
4、点F.,证明：连接AB,BAD=E.,BAD+F=180,E+F=180,CE/DF .,求证：CE/DF.,四边形ABEC是 的内接四边形。,四边形ADFB是 的内接四边形。,例2 如图，CF是ABC的AB边上的高，FPBC, FQAC.,求证：A,B,P,Q四点共圆,证明：连接PQ。,在四边形QFPC中，,FPBC FQAC.,FQA=FPC=90.,Q,F,P,C四点共圆。,QFC=QPC.,又CFAB,QFC与QFA互余.,而A与QFA也互余.,A=QFC.,A=QPC.,A,B,P,Q四点共圆,习题2.2,1.AD,BE是ABC的两条高， 求证：CED=ABC.,2.求证：对角线互相
5、垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。,o,3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分E,且与BC,AD分别相交于F,G. 求证： CFG=DGF.,2.3 圆的切线的性质 及判定定理,三. 圆的切线的性质及判定定理,圆与直线的位置关系:,相交-有两个公共点,相切-只有一个公共点,相离-没有公共点,切线的性质定理:,O,切线的性质定理逆命题是否成立?,M,反证法,推论1:,经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.,推论2:,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.,这与线圆相切矛盾.,思考:,圆的切线垂直于经过切点的半径,假设不垂直,作OM,因“垂线段最短”,故OAO
6、M,即圆心到直线距离小于半径.,A,切线的判定定理:,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,A,O,B,.直线与圆只有一个公共点,是切线.,在直线上任取异于A的点B.,连OB.,则在RtABO中,OBOA=r,故B在圆外,例1 如图,AB是O的直径, O过BC的中点D, DEAC.求证:DE是O是切线.,证明:连接OD. BD=CD,OA=OB,OD是ABC的中位线,OD/AC.,又DEC=90,ODE=90,又D在圆周上,DE是O是切线,例2 如图. AB为O的直径,C为O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.,求证:AC平分DAB.,证明:连接OC,OCCD.,又AD
7、CD,OC/AD.由此得 ACO=CAD.,OC=OA., CAO=ACO., CAD=CAO.,故AC平分DAB.,CD是O的切线,习题2.3,1.如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, O与腰AB相切于点D.,求证:AC与O相切.,2.已知:OA和OB是O的半径,并且OAOB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交O于Q.过Q作O的切 线交OA的延长线于R,.,求证:RP=RQ,B,O,P,A,R,Q,AQO= APQ,3.AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.,求证:DC是O的切线.,A,O,B,C,D,1,3,2,4,COD与COB全等,思考: 当P由圆内移动到圆外是,有何结论?,AD的度数与BC的度数和的一半等于APD的度数.,D,A,C,B,P,E,AB与CD相交于圆内一点P., P= BAC- ACP,圆内角定理:,且BAC= P+ ACP,