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1、,5.2 中心极限定理,若,（独立同分布下的中心极限定理）,定理四 p147,设X1,X2, Xn , 相互独立，,且服从同一分布，,具有期望和方差,则,定理四中,“同分布”的条件不易满足,则把此条件去掉，保留它们相互独立，,并有有限的期望,和方差。,当它们的总和,当 n 充分大时就近似服从,正态分布。,(棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）,的分布近似正态分布,定理六,设随机变量 服从参数为,的二项分布,定理表明，当n 很大，0 p 1 是一个定值时,二项变量,注：此处,证明,说明：,推论：,设随机变量,当 n 充分大时有：,计算方法。,这个公式给出了n 较大时二项分布的概率,是 n 次独立重复试验
2、中事件A发生的次数。,此表明正态分布是二项分布的极限分布，当 n 充分大,时可用此公式来计算二项分布的概率。,例1 报童沿街向行人兜售报纸，,设每位行人买报,的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童,向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。,解 设报童卖掉报纸的份数为X.,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率,由题意有：,例2,即供给141千瓦
3、电就能以99.9%的概率保证这个,车间不会因供电不足而影响生产。,某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有X部分机同时使用外线，则有,设有N 条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,例3,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,例4,一加法器同时收到20个噪声电压,服从均匀分布，记,求 P(V105)的近似值。,例5 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车装
4、运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.,解 设 Xi ，i=1,2,n 是装运的第i 箱重量(单位:千克),n 箱的总重量为,n是所求箱数.,可将Xi ，i=1,2,n 视为独立同分布的随机变量.,故,解得,即一辆车最多可以装98箱.,由独立同分布中心极限定理知，Tn 近似服从正态分布 .,例6 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有 29600 30500 次纵摇角大于3的概率是多少？,解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3的次数，故有,所求事件的概率为,课堂练习：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率为0.05 , 0.8, 0.15. 若学校共有400名家长，设各学生参加会议的家长数相对独立，且服从同一分布： （1）求参加会议的家长数X超过450的概率 （2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,练习 p 154 5, 6,7 8, 9,