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1、数值分析： 研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。 计算方法： 随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支，是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。,第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：,(Numerical Analysis),(Computational Method),主要内容：,（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟合），数值微分（积分），常微分方程，矩阵特征值求解，偏微分方程数值解, （2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛性、稳定
2、性（数学角度上），算法的计算时间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）,特点 :,具有数学的抽象性和逻辑严密性 又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计算机结合密切的一门课程） 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。,如何学习这门课？,这门课的学习意义，数值计算的重要性; 如何上这门课（教材）, 学习方法; 上课形式（授课、上机、大型实验）; 成绩评定（平时、实验、期中、期末）.,1.2误差基本概念 1.2.1误差定义及来源,真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异，其差称为误差。 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题数学问题）， 如抽象化、忽略次要因素等. (2)
3、. 观测误差（数学问题中的数据初始值观察 测量时产生）,(Error),(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计算），如无穷级数求和（无限次有限次： ， (4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，如Pi，无理数有理数，） 整个误差来源可做图表示:,总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差，提高精度（如选择好的计算方法）,1.2.2绝对误差和绝对误差限,定义：设 为准确值， 是近似值 , 为绝对误差 分析： e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) e值实际上无法知道, 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过 0.5mm.,定义：若
4、，则 称为绝对误差限， 为正数，有:,1.2.3相对误差和相对误差限,为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体，其绝对误差限都为0.5，但测量精度分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测量精确度，引入相对误差。,定义： 为准确值， 为近似值，则,分析：,(1). 可正可负,(2).,(3). 无法知道，因为 不知道，,也可表示为,和 之间关系为：,（可作为习题）,因为 无法求出，所以通常考虑相对误差限,若,或,则称 为相对误差限。,1.2.4 有效数字,当 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。,定义：如果近似值 的误差限是其末位上的半个单位，且该位直到 的第一
5、个非零数字共有n位，则 有n位有效数字。,具体计算：对 ，从左往右数，从第一个非零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差限为末位的 个单位，则有效数字为n。,有效数字的位数确定.,例：数0.00234711，取五位有效数字，,例： =1.732050808,若 =1.7321，,但若 =1.7320，,误差限为,则有5位有效数字，因为误差限,则只有4位有效数字，因为误差限,为0.0023471，,1.2.5误差传播影响,计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函数值误差.,泰勒级数展开分析误差传播.,设,为准确值，,准确值为,为近似值，,近似值为,先考虑绝对误差：,令,利用二元函数一阶
6、泰勒展开公式,采用二元函数,所以：,再考虑相对误差：,根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除的误差传播：,（避免绝对值很大的数为乘数）,（避免 为很小的数为除数）,（避免两相近数相减运算),1.3 机器数系.,(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差),这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：,其中， =0.a1a2a3at 称为尾数-1,1,中的正负号用一位数字区分；,为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。,1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式,数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不
7、大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足,，则称该计算公式是绝对稳定的,例：建立积分In=,（n=0,1.,20）,递推关系式，并分析误差传播影响。,解：,In+5In-1=,I0=,=ln6-ln5,递推式：,在计算I0时，设近似值为I0为,可设 e0=I0-,In- =,即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍，误差范围变大， 不稳定. 对可改用另一种计算过程：,（ 可通过积分第一中值定理算出）,则 ，误差范围逐步减少。,即,若函数f(x)连续, g(x)在区间a,b上不变号且可积, 则有,设,（2）避免两相近数相减,例. 计算,设,和,有六位有效数字,即x1=44.73
8、25 x2=44.7102,x1-x2=44.7325-44.7102,（可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位）,方法1：直接相减：,方法2:分子有理化：=,=0.0223 （事实上只有2位有效数字）,也可进行理论分析， 这里考虑绝对误差：,第一种方法只有2位有效数字,理论上分析, 可以有6位有效数字,(分子为常数2, 分母为x1+x2两变量之和),（3）避免绝对值大的数作乘数，,同样，避免x2为很小的数作除数， ,（4）防止大数吃小数：,（计算机硬件发展，浮点数表示位数增加，此问题已很少出现）,主要原因是计算机运算处理时，需对阶处理（即取较大的阶值运算,较小数的尾数则会变的很小,计算机浮
9、点数表示不出来）, 会出现: 大数+小数=大数 求和时，可先按绝对值从小到大排序，先对小数运算，再对大数运算。,(5)简化计算步骤，减少计算次数,例：计算,方法1：直接计算30次乘法 方法2：,（这里4次乘法）,（4次乘法）,共8次乘法,空间上:,需存储x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存储x.,例：计算,常规方法：乘法：,加法：,Horner方法（秦九韶方法）:,需n次乘法，n次加法,空间上:,除了an和x, 多存储一个变量用来保存ai-1x+ai,第2章 方程求根(Non-linear equation) 2.1问题提出,对方程 ，若存在 ，使得 ， 则称 为 的根，或称为零点。
10、,当,为多项式形式时，即,则,称为代数方程。,若,可写成,形式,为,的m重根，或称m重零点。,则,代数方程 的公式解,（当次数 时有）,令,，原方程又可写为：,对三次方程（卡当公式）：,此类方程有公式解：,其中,（有可能出现复数根） 对四次方程，可找相关文献。,对高次方程，使用数值方法求解，即在满足一定精度的前提下，求根的近似值。,具体步骤：,找到根的隔离区间,当 在 内连续，且,则 内有解；,当 在 内严格单调，则 内有唯一解。,求根精确化 找出一个根的近似值后，通过迭代方法计算， 直至近似值达到一定精度。,例1：求,的有根区间。,有根区间：0, 2内有解;,缩小区间可知: 1, 2内有解;,再继续缩小区间知: 1.5, 2内有解。,例2：求 的有根区间.,即 , e=2.71828, 可由作图知, 0, 1内有解。,