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1、, 一元微积分学,第二十五讲 定积分的概念,授课教师：彭亚新,高 等 数 学 A（1）,第七章 一元函数的积分,本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。,第三节 定积分的概念,第七章 一元函数的积分,二. 定积分的定义,一. 曲边梯形的面积,三. 定
2、积分的性质,第七章 一元函数的积分,第三节 定积分的概念和性质,在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了 近似值.,在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。,阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.,就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似
3、值（边界线为直线时，可得精确值）.,如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?,一. 曲边梯形的面积,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.,1. 曲边梯形,2. 求曲边梯形的面积,首先，我们重复阿基米德的做法： 分划代替求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的代替,二. 定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关于定积分定义的几点说明,由极限保号性：,面积：,下面是几个关于函
4、数可积性的定理.,运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.,喂!,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定积分的性质,由于定积分是一种和式的极限, 所以极限 的某些性质在定积分中将有所反映.,在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可 积, 所出现的定积分均存在.,同时,为方便起见,规定,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,(小于零的情形类似. ),由极限的保号性立即可知.,证,/,证,请同学们自己在下面做.,/,与性质 3 的推论 1 不同， 这里的结论是严格不等号！,证,证,所以,证,证,证,要真正把书看懂， 不下点功夫是不行的！,解,由积分中值定理,