2刚体的定轴转动-02.ppt

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1、同学们好,自然界存在着各式各样的运动,如刚体的转动,刚体力学基础,2.6.1 刚体的基本运动,一、刚体模型,刚体是一种特殊的质点系，是一个理想的模型，在任何情况下，刚体内任意两点之间的距离保持不变。,平动 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。,二、刚体的平动和转动,转动 刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动，叫做刚体的转动。该直线叫刚体的转轴。,定轴转动：转轴为固定直线的转动叫做刚体定轴转动。,一般运动 平动与转动叠加。,刚体定轴转动的描述,* 简化为研究转动平面内的 运动,* 用角量作整体描述,*

2、 在轴上选正方向，各角量 均表示为代数量,如何简化？,三、角速度矢量,角速度:,大小:,方向: 右手螺旋法则,2.6.2 刚体的角动量 转动惯量,即,对 的角动量：,转轴 角速度 刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为,一、刚体对定轴的角动量,定义：质点 对 点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。,刚体对z轴的总角动量为：,对质量连续分布的刚体：,若质量连续分布，则,积分元选取：,二、刚体对定轴的转动惯量,2. 计算,2. 一长为 的细杆，质量 均匀分布 ，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。,解：(1) 轴过中点,(2) 轴过一端端点,解 (1)

3、在环上任取一质元，其质量为dm，距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为,例2.19 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.,考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为,(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量,3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量,解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元,4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量,解：以距中心 ，厚 的球壳 为积分元,平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,质量

4、为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P 轴的转动惯量,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,注意：,对同轴的转动惯量才具有可加减性。,一些均匀刚体的转动惯量表,解一：,解二：,解三：,（1）单个质点 与转轴刚性连接,2.6.3 刚体对定轴的转动定律,（2）刚体,质量元受外力 ， 内力,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,转动定律,定义转动惯量,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,讨论,（2）,（3）,（1） 不变,转动定律,小结,比较,由,得,例1 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC

5、的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？,解 (1) 用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图,A,B,C,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,解得：,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,如令 ，可得,（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加

6、速度和角速度,例2 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,m,l,O,mg,END,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,例2.21 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t0时角速度为 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历

7、的时间是多少？,解 (1) ，故由转动定律有,(2),t0时， ，两边积分,故当 时，制动经历的时间为,例: 一定滑轮的质量为 ，半径为 ，一轻绳两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。,思路：先求角加速度,解：在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。,以向下为正方向,以向上为正方向,思考：, ,以顺时针方向为正方向,四个未知数： 三个方程 ？,绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：,解得：,如图示，两物体质量分别为 和 ，滑轮质量为 ，半径为 。已

8、知 与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求 下落的加速度和两段绳中的张力。,解：在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：,练习,列方程如下：,可求解,例. 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。,解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设滑轮半径为 r 有：,用隔离法列方程: (以逆时针方向为正),解得：,2.6.4 刚体定轴转动的动能定理,一、刚体绕定轴的转动动能,刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各

9、个质点的动能之和。设刚体中第i个质元的质量为 ，速度为 ，则该质点的动能为,比较,二、力矩的功,如图所示，元功为,又因,对转轴O的力矩为,设刚体从 转到 ，则力 作的功为,再对各个外力的功求和，就可以得到所有外力作的总功为,合外力矩的功等于合外力矩与刚体角位移元乘积的积分。,例1:匀质细杆长为l,质量为m,可绕通过点O且与杆垂直的 水平轴在竖直面内转动, 如图所示.在杆的一端作用一水平 恒力,其大小为F=2mg, 杆在此力作用下由静止转 过角度 求力F所作的功.,M=M( ),3-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理,三、刚体定轴转动的动能定理,根据刚体的定轴转动定律，有,四、刚体的重力势能

10、,其中 是刚体的质心到势能零点的距离。,刚体的重力势能,例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？,R,r,dr,dl,o,解 (1) 如图取面积元ds = drdl，该面元所受的摩擦力为,此力对点o的力矩为,于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为,R,r,dr,dl,o,(3) 由 可得在 0 到 t 的时间内，转过的角度为,(2) 由转动定律求 ，

11、(唱片J=mR2/2),（作匀加速转动）,驱动力矩做的功为,由 可求得,例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一质量为m、速率为v 的子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏转角为30o . 问子弹的初速率为多少?,解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E =常量,解得：,例2.22 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30角时中心点C和端点A的速度.,解：棒受力如图,则中心点C和端点A的速度分别为,例：如图所示， 一圆盘质量为m； 半径为R； 绳长为 l

12、； 夹角为；,求：竖直时圆盘的质心速度。,解：因机械能守恒，故,另解一：应把圆盘视为一个绕O点旋转的刚体。应用平行轴定理，得圆盘对O点的转动惯量为,由机械能守恒可得：,求出 ，再由 得解。,另解二：把圆盘的运动视为质心绕O点的摆动和圆盘绕质心的转动的合成。由机械能守恒得：,其中,再由 可得解。,另解三：把圆盘下落的过程视为力矩做功的过程。由功能原理可得：,求出 ，再由 得解。,例：如图所示， 均匀圆柱，m, R， 初始静止，高度h， 无滑动。 求：角速度。,解：圆柱的运动可看成是圆柱绕中轴的转动与中轴的平动的合成。由机械能守恒得：,再由 和 可求解。,2.6.5 定轴转动的角动量定理 和角动量

13、守恒定律,一、定轴转动的角动量定理,二、定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：当外力对定轴的合外力矩为零时，刚体对该轴的角动量将保持不变。,在日常生活中，我们到处都可以看到这样的例子。如直升飞机为何需要双螺旋桨、体操运动员和跳水运动员为何都是小个子、滑冰运动员旋转的舞姿等等。,问题：虫与杆碰撞， 角动量守恒？,P129小球1,对O点：外力矩,虫与杆碰撞，角动量守恒,两类冲击问题,问题： 冲击（碰撞）动量是否一定守恒？,设子弹嵌入物体内,系统：子弹+沙袋,*动量守恒（水平）,角动量守恒；,机械能不守恒 .,（1）、 子弹和物体（细绳或弹簧相连）冲击,弹簧,细绳,系统：子弹+杆,机械能不守

14、恒,角动量守恒；,子弹击入杆,（2）、子弹和杆冲击,*动量不守恒（水平）,例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一质量为m、速率为v 的子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏转角为300 . 问子弹的初速率为多少?,摆动：杆、弹和地球系统机械能守恒,冲击：子弹与杆系统只有角动量守恒；,（动量不守恒）,解,冲击：子弹+竿系统 角动量守恒,子弹（质点）：,转动：,摆动：子弹+细杆+地球系统， 机械能守恒,小结：,2、刚体绕定轴转动的动能定理,1、力矩的功,复习提要：,一、转动惯量,二、角动量 质点,三、力矩,定轴刚体,五、角动量守恒,四、角动量定理,例. 一半径为R、质量为 M 的转

15、台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？,系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：,设人沿转台边缘跑一周的时间为 t：,人相对地面转过的角度：,台相对地面转过的角度：,解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则： J1 + J2 系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正：,接触点无相对滑动：,问题：(1) 式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？,问题： (1) 式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？,系统角动量不

16、守恒！,解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程,设：f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正,m1对o1 轴：,m2对o2 轴：,接触点：,联立各式解得：,解一：m 和 m 2 系统动量守恒 m v 0 = (m + m 2 ) v,以上解法对不对？,因为相撞时轴A作用力不能忽略不计，故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故系统角动量守恒。,由此列出以下方程：,或：,得：,注意：区分两类冲击摆,水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0 = ( m + M ) v 对 o 点： ， 守恒 m v 0 l = ( m + M ) v l,轴作用力不能忽略，

17、动量不守恒，但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒,回顾,回顾,练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒，绳 不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =?,哪些物理量守恒？请列方程。,解：m、M系统水平方向动量守恒（F x =0) 竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）,或：,(2) 各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反,设垂直向外为正方向，总角动量：,撞后：,令,得：,分两个阶段求解,各遵循什么规律?,摆动: M + m + 地球系统 E 守恒,撞后,撞前,摆动: M + m + 地球系统 E 守恒,