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1、数学建模,一、模型的概念和种类,我们常见 的模型,模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,二、数学模型,三、数学建模,问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？,四、数学建模的简单实例,问题2：哥尼斯堡七桥问题,问题分析,模型评价,模型应用,模型求解,建立模型,符号设定,模型假设,Y,N,模型检验,数学建模流程图解,五、数学建模过程,练习题：考察想象力、洞察力和判断力,1. 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，
2、下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？,A,B,甲,甲,2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？,一般思维：,逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。,3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？,
3、车站,家,5：30,相遇,早10钟,5分钟,5分钟,6：00,5：55,共走了25分钟。,4. 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）,d,A,B,河,初等模型,1 汽车刹车距离 2 划艇比赛的成绩 3 钓鱼比赛 4 席位分配,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；,建立数
4、学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反应距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间
5、t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,利用比例性、几何相似性进行建模,几何相似性是一个与比例性有关的概念而且有助于数学建模的过程. 比例性:两个变量 和 是(互成)比例的,如果一个变量总是 另一个变量的常数倍,即,如果对某个非零常数k, 我们记为 几何相似性:如果两个物体之间存在一个一一对应,使得对应点之间的距离之比对所有可能的点对都不变(等于同一个常数),则称这两个物体是几何相似的. 注:几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具,划艇比赛的成绩,对四种赛艇（单人
6、、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W,艇的静态特性,艇
7、的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验,与模型符合！,钓鱼比赛,问题:,出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部的荣誉会员,大奖赛期间的钓鱼总重量的冠军,等等.垂钓者怎么确定所钓到的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤,但是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确.,问题分析:,根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量
8、,影响因素:,鱼的种类 性别 季节,问题假设:,1).单一鱼种;2)平均重量密度一致;3)忽略性别和季节,4)所有鲈鱼都是几何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征量的立方成正比.,建立模型:,对于上述数据利用线性最小二乘拟合的结果为,该模型提供了一种方便的普遍准则.垂钓大奖赛把垂钓者钓到的鱼的长度转化为重量,把表明重量的卡发给大家,当次法则广泛应用以后,应该把标有转换刻度的布带发给每个垂钓者.,问题:,该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦,要求你对于上述模型进行修改,以满足上述要求.,选举中的席位分配,一. 比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各政党的选民数为： A党
9、：199,000 B党：127,500 C党：124,000 D党： 49,500 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？,选举中的席位分配,最大余数法 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党。 党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数 A 199,000 1 99,000 1 2 B 127,500 1 27,500 0 1 C 124,000 1 24,000 0 1 D 49,500 0 49,500 1 1,选举中的席位分配,洪德(dHondt)规则 分配办法是：把各党代表的选民数分别被
10、1、2、3、除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党3席、给D党0席也是合理的。 除数 A党 B党 C党 D党 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 4 49,750 31,875 总席位 3 1 1 0,选举中的席位分配,北欧折衷方案 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、7、 A党 B党 C党 D党 2 2 1 0 三种分配方案，得到了完全不同的结果
11、，最大余数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利,选举中的席位分配,二份额分配法(Quota Method) 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300席时，它却只能
12、分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。,公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=
13、1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，
14、,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席
15、位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N)，,记
16、qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时， ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,