3第三章刚体的转动.ppt

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1、第三章 刚体的转动 rotation of a rigid body,1、刚体：rigid body 在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。 2、刚体的平动：translation of a rigid body 刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的运动。,3.1 刚体的平动、转动和定轴转动,3、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转

2、动。,刚体定轴转动的特点,刚体上各个质点都在做圆周运动,但各质点圆周运动的半径不一定相同； 各质点圆周运动的平面垂直于轴,圆心在轴线上； 各质点的矢径,在相同的时间内转过的角度相同.,4、刚体的一般运动,5、角速度矢量： angular velocity vector, , ,z,运动方程,角速度,角加速度,角量与线量的关系,对定轴转动，矢量可简化为标量：,刚体匀变速转动公式 ：,与匀变速直线运动公式类似。,则容易得到 ：,3.2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量,质点的角动量（对一给定点而言）,刚体绕轴的角动量,即：,第i个质点对O点的角动量,的大小,沿Z轴分量,o,z,L,A,B,o,z,

3、L,A,B,刚体的转动动能,（质量连续分布时）,单位:,单个质点,刚体,例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的轻杆相联结。求该质点系对通过A点和O点，且垂直于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。,4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia,解：,例题 均匀杆质量m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。,解：,平行轴定理,例题 均匀圆环 ：,例题 均匀圆盘：,面密度,刚体的转动惯量与下列三个因素有关： 与质量有关。形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量大。 与质量分布有关。总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 与转轴位置有关。

4、同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。,半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直纸面）,例 如图已知R 和 M0 ，试计算其转动惯量，设转轴过O点且和盘面垂直。,解：根据J 的可叠加性，可将其看成两部分：,=,3.3 力矩 刚体转动定律,力F对O点的力矩,力F对转轴OZ的力矩,在定轴转动中,几个外力同时作用在刚体上时,合外力矩为,式中正负号根据右手螺旋法则规定,内力矩的和呢？,刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率,转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性,刚体定轴转动定律的应用,例题：一轻

5、绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为 m1和m2 的物体， m1m2 ，如图所示，设滑轮的质量为m，半径为r，绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力(盘与转轴间的摩擦阻力可忽略 )。,解： 受力分析如图,按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程,从以上各式即可解得,当不计滑轮质量即令,练习、 将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m的重物，飞轮的角加速度为b如果以拉力2mg代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于b (B) 大于b，小于2 b (C) 大于2 b (D) 等于2 b,m,F=2mg,例题、一质量为M，半径为R的定滑轮（当做均

6、匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落h高度时的速度和滑轮的角速度。,解： 受力分析如图,按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程,联立以上三式，可得物体下落的加速度为,物体下落h高度时的速度为,这时滑轮的角速度为,例题：一半径为R，质量为m的均匀圆盘，放在粗糙的水平面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多长时间才停止转动？,解：取盘上一质元,根据转动定律,设盘经时间t停止,如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA10 kg和mB20

7、kg，半径分别为rA和rB现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 和 ),例题一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。,关于刚体的静力学问题 Problem of statics of a rigid body,刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件,刚体受合外力等于零,整个刚体受合外力矩等于零,解：刚体平衡同时要满足两个条件：,解以上三式，得,列出分量方程：,水平方向：,

8、竖直方向：,以支点O为转动中心，梯子受的合外力矩：,O,一圆柱体截面半径为r，重为P，放置如图所示，它与墙和地面之间的静摩擦系数均为1/3，若对圆柱体施以向下的力F=2P，问：（1）要使它正好能够反时针方向转动，力F与P之间的垂直距离= ；（2）作用于A点的摩擦力fA= ，正压力NA= 。,3.4 定轴转动的动能定理,1、力矩的功： work done by torque,当物体绕轴有一角位移 时，力 做的元功为,设刚体从 转到 ，则力 作的功为,所有外力的功（力矩的功）,式中 为刚体所受到的总外力矩,o,z,P,2、转动动能定理 rotational kinetic energy theor

9、em,质点的动能定理,3、刚体的重力势能,一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。,例题 如图所示，已知滑轮转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，系统从静止释放，释放时弹簧无伸长。求物体下滑x米时的速度。,解:取物体m、滑轮、弹簧和地球为系统，系统只有重力和弹力做功，机械能守恒。,一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由下摆，求：棒在任意位置时的角加速度和角速度；棒摆至铅直位置时重力矩所做的功。,解：棒在任意位置时的重力矩,因为,根据机械能守恒求角速度。,因为,所以,这

10、功即是细棒重力势能的减少,动能定理,法一,法二,法三,3.6 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律,1、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis,转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量-角动量定理。,所以,由转动定律,2、定轴转动刚体的角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,当物体所受合外力矩等于零

11、时，物体的角动量保持不变。-角动量守恒定律,若,则,由角动量定理,说 明,1、 角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本的定律。 2、 角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。,4、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。,3、 角动量保持不变、恒矢量： 不变， 也不变 变， 也变，但 保持不变。,应用举例,1、花样滑冰，芭蕾舞演员的表演： 2、跳水运动员，跳马（伸直，以初角速度起跳；卷缩，减小J，以增大角速度；伸直；入水时J增大了，减小角速度以保持竖直入水）,一质量为M的均匀圆盘正以角速

12、度 旋转着，今有一质量为m，速度为v的铁钉，从正上方从正右方嵌入圆盘边缘，则圆盘的角速度分别变为多少？,解：角动量守恒,A和B两飞轮绕同一中心线转动，它们的转动惯量分别为 、 ，转动角速度分为 、 ， 。C为摩擦啮合器。求：两轮啮合后的角速度；啮合过程损失的能量；两轮各自所受的冲量矩。,解：系统角动量守恒,能量损失,冲量矩,如图，一长为 l ,质量为M的杆可绕支点O转动，一质量为m ，速率为 v0 的子弹，射入距支点为a的杆内，若杆的偏转角=300，求子弹的初速率 v0,例题,解：此题分两个阶段，第一阶段，子弹射入杆中，摆获得角速度，尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对O点的力矩为零，系统角

13、动量守恒：,第二阶段，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统机械能守恒：,由（1）（2）（3）（4）式求得：,其中：,例题、一质量为M，半径为R的定滑轮（当做均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落h高度时的速度和滑轮的角速度。,解： 受力分析如图,按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程,例 一轻绳绕过一半径为，质量为m/4的滑轮。质量为m的人抓住绳的端，而绳的端系了一个质量为m/2的重物。求人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度。,选人、滑轮与重物为系统，所受的外力矩为,

14、解：（方法一）,设u为人相对绳的匀速度，v为重物上升的速度。则系统对轴的角动量为,根据角动量定理,既,因,故有,（方法二）,滑轮,物,人,解得,一、基本概念,1、刚体： 2、刚体的平动： 3、刚体绕定轴转动： 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。,6、刚体的转动惯量：,4、角速度矢量：,5、刚体的转动动能：,（质量连续分布时）,7、刚体的角动量：( 对一给定点而言）,定轴转动的角动量,8、力矩的功：,二、基本规律,1、转动定律,（在转轴上的分量式）,（相当于 ）,刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率,或：,说明 ： A、动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同

15、，只是动能的表示形式不同而己，,2、转动动能定理,B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。,4、定轴转动刚体的角动量守恒定律,当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。-角动量守恒定律,若,则,由角动量定理,三、解题指导,若已知角速度或角加速度及初始条件，求运动方程可用积分法,1、运动学问题 刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动的角量描述及角量和线量的关系。,若已知运动方程，求角速度或角加速度等，可用微分法,2、转动惯量的计算,J由质量对轴的分布决定。,3、定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，

16、然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。,第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动量守恒定。 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，

17、也可用机械能守恒定律求解。,另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。,1、质量为M1=24kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动,一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M2=5kg的圆盘形定滑轮悬有m=10kg的物体。 求当重物开始下降了h=0.5m时， (1)物体的速度; (2)绳中张力。 （设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为,2、花样滑冰运动员绕竖直轴旋转，两臂伸开时转动惯量为J0，角速度为0 ；收拢两臂，转动惯量变为J0 / 3，则角速度为( ),3、 一均匀细棒，可绕一水平光滑轴O在竖直面内转

18、动，O轴离A端距离为L/3。已知棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置绕O轴转动，求：棒对O轴的转动惯量；棒在任意位置时的角加速度和角速度,4、 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑轴固定O以角速度按图示方向转动。若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 （1）必然增加 （2）必然减少 （3）不变 （4）如何变化，不能确定,一根细棒长为L，总质量为m，其质量分布与离o点的距离成正比，现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒可绕过其端点o的竖直轴转动，已知棒与桌面间的摩擦系数为 ，棒的初始角速度为 ，求：棒对给定轴的转动惯量；棒

19、绕轴转动时受到的摩擦力矩；棒从 到静止所经过的时间；棒转过一圈后的角速度。,解：,棒转过一圈后的角速度,质量分别为 、 ，半径分别为 、 的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以 、 的角速度匀速转动，然后平移两轴使它们的边缘相接触，求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度。,对上述问题有以下解法：,在接触处无相对滑动时,两圆柱系统角动量守恒,由以上二式就可解出 和 ，你对这种解法有何见解？,其中,解：式是认为系统的角动量为二圆柱各自对各自的轴的角动量之和，这样的计算是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算，此外，二圆柱在各自的轴处均受外力，因此不论对哪一个轴来说，这一系统的合外力矩均不为零，所以系统的角动量是不守恒的，正确的解法是用角动量定理，设二圆柱接触处的一对切向摩擦力为,则有,且有,联立以上各式可解出正确的解。,