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1、4.2 应用留数定理 计算实变函数定积分,在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需要计算菲涅尔积分 ；热传导问题中需要计算 ；阻尼振动问题中需要计算积分 等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿莱布尼兹公式计算。,可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路径沿实轴时，z=x即对应于实积分)，再利用留数定理，则积分显得方便易求。 利用留数定理计算实积分 一般可采用如下步骤： (1)添加辅助
2、曲线，使积分路径构成闭合曲线； (2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数F(z)，使得满足F(x)=f(x)，通常选用F(z)=f(z)，只有少数例外；,(3)计算被积函数F(z)在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和； (4)计算辅助曲线上函数F(z)的积分值，通常选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。 设法将实积分 与复变函数回路积分相联系。 基本思想： (1)补上一段l2，使得l2上 的积分容易计算；,(2)自变数变换，把l1变成 另一复平面上的回路。 类型一： 条件： 被积函数是三角函数的有理式； 区间是0，2 变数代换令z=eix，x 0，2， 作
3、变换,令,由留数定理得： zk为f(z)在单位圆内的奇点 例1：计算 该积分在力学和量子力学中很重要,例2：计算 解：令z=eix，则 f(z)有两个2阶极点， 其中 在|z|=1内，则z1 处的留数为,例3：计算 解：令z=eix，则 在|z|=1内，,，以z=为一阶极点 例4：求 的值 解：令z=ei，则,被积函数 在|z|=1内只有单极 点 ，故 类型二： (反常积分) 条件： 区间(-，)； f(z)在实轴上无奇点，在上半平面上,除有限个奇点外是解析的； 当z在上半平面和实轴上时， zf(z)一致地0 若 ， 和 为互质多 项式，上述条件意味着 无实的零 点， 的次数至少比 高两阶。
4、所求积分通常理解为下列极限：,若上述极限存在，这一极限便称为 的值。而当R1=R2时极限存在的话，该极限称为积分 的主值，记为： P 上下限相等并同时 本类型积分计算的是积分主值，如 何计算？作如图所示半圆形回路l,只需证明,例4：计算 解： =1， =1+x2，在实轴上无零点， 而 ，具有单 极点i，+i在上半平面，则,例5：计算 ，（n为正整数） 解： 是偶函数 而 在上半 平面具有n阶极点+i，则,例6：计算 解： f(x)是偶函数 令z4+a4=0，则z4=-a4，即 也就是说 有4个单极点，其 中， 和 在上半平面,例7：计算 ,(a0,b0) 的值。 解： 的分母多项式 的次数高于
5、分子多项式次数两次，它 在上半平面有z1=ai和z2=bi两个单极点 所以,例8：计算 的值。 解： 为偶函数，且分母多项 式的次数高于分子多项式次数两次， 它在上半平面有 和 两个单极点，所以,类型三： 条件： F(x)是偶函数， G(x)是奇函数，积分 区间是0，； F(x)，G(x)在实轴上无奇点，在上半 平面除有限个奇点外是解析的； 当z在上半平面或实轴上时，F(x) 和G(x)一致地0。,要计算右边的积分，需要用到约当引理。 约当引理 如果m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上时，F(z)一致地0，则 证明：,当z在上半平面及实轴上时，F(z)一致地0，所以max|F(z)|0，从而只需证明 即 是有界的。 在 范围内，有 ， 当R 时，上式有限值，则约当引理成立。 如果m为负数，则约当引理为 CR是CR对于实轴的映像。,以上两式均已化为类型二，其中条件3已放宽，由约当引理保证，所以 例：计算 (a0)的值。 解： 有两个单极点ai，其中 ai在上半平面，则,特殊情形：实轴上有单极点的情形 条件：f(x)在实轴上有有限个单极点； 满足类型二的其它条件； 结果： 的求和范围是上半平面 的求和范围是在实轴上,例8：计算 (m0,a0)的值。 解： 且,而,作业： P63-64： 11，6 22、6 33、5,