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1、,通过上一章的学习我们知道，时域的周期信号可以由成谐波关系的复指数信号来线性表示。时域的波形与频域的频谱是一一对应的。从而LTI系统对周期信号的响应变得极其简便。 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，如何建立是非周期信号的频谱表示，就是这一章要解决的问题。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法.这正是我们
2、开展对非周期信号进行频域分析的基本出发点。,第四章 连续时间傅里叶变换,4.1 非周期信号的表示连续时间傅里叶变换,一、从傅里叶级数到傅里叶变换,首先让我们考察一下周期矩形脉冲信号，其时域与频域波形如这里动画4-1所示 。,当 增大的时候，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 增大而减小；而频谱的包络不变。当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。,当 时， ，,由于 也随 增大而减小并最终趋于0。,考查 的变化，它在 时应该是有限的。,于是，我们推断出：当 时，离散的频谱将演变为连续的频谱。,由,如果令 ，则有,与周期信号的傅里叶级数相比较有： ；,这表明：周期信号的频
3、谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。,根据傅里叶级数表示：,当 时 ， ， ， ，,于是有：,此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的振幅为 的复指数信号之和。,由于 具有频谱随频率分布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。,与 就构成了一对傅里叶变换式。,二、从物理意义来讨论FT,是一个密度函数的概念；,是一个连续谱；,包含了f(t)的所有频率分量；,傅里叶变换一般为复数。,三、傅里叶变换的收敛,既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示，讨论周期趋于无穷时的极限得来的，傅里叶变换的收敛问题就应该和傅里叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件：,若 ，则 存在,这表明所有能
4、量有限的信号其傅里叶变换一定存在。,第二组条件即为满足狄利赫里条件。,四、常用信号的傅里叶变换：,1、 ，,2、 ，,我们看到：实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用一幅图表示信号的频谱。对此例,3、,这表明 中包括了所有的频率成分，所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。,4、,(具有此频率特性的系统称为理想低通滤波器),6、若 ，则有 ，,因为：,所以：,五、信号的带宽,信号的主要能量集中于低频分量, 传输信号的系统具有自己的频率特性。工程中在传输信号时，也没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输
5、，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。因此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法：,下降到最大值的 时对应的频率范围，此时带内信号分量占有信号总能量的 。,4.2 周期信号的傅里叶变换,到此为止，周期信号用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时，会给分析带来不便。由于周期信号不满足Dirichlet 条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅里叶变换表示。,考查 所对应的信号,这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。,若 ，则,于是，当周期信号表示为傅里叶级数时,，就有,这表明，周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于
6、信号各次谐波的频率处，其强度正比于傅里叶级数系数 。,例：,例、,注意：周期信号不满足绝对可积条件；引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激。,4.3 连续时间傅里叶变换的性质,讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取。,1、线性:,若,则,2、时移:,若 ：,则 ：,这表明：信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个线性相移。,3、共轭对称性,若,则,由,所以 , 即,若 是实信号,则 。,于是有：,4. 时域微分与积分,若,
7、则 (可将运算转变为代数运算),(时域积分特性),由时域积分特性从,也可得到：,5. 时域和频域的尺度变换,若 ，则,当 时，有,尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压缩a倍，反之亦然。从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。,如动画所示。,6. 对偶性,若 则,证明：,利用对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。,例如： 由 ，有对偶关系,利用时移特性有,再次对偶有,根据,得 ，这就是移频特性,频域微分特性：,由 ，得,所以,该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:,对,利用时域微分特性有,再次对偶得,由 ，有,及频域微分特性,由时域积
8、分特性,可对偶出频域积分特性,再次对偶,由 ，有,频域积分特性,7. Parseval定理,若 ，则,这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。,4.4 卷积性质,一、 若,则,由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信号是LTI系统的特征函数。由,将 分解成复指数分量的线性组合，每个 通过LTI系统时都要受到系统频响 的加权，其中 即是系统与 对应的特征值，故有,所以：,由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，
9、所以称为系统的频率响应。,鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的 都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。,二、系统互联时的频率响应：,级联,并联,三、LTI系统的频域分析法：,根据卷积特性，可以对LTI系统进行频域分析，其过程为：,1、 ；,2、根据系统的描述，求出 ；,3、,4、,4.5 相乘性质：（调制性质）,若,则,利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质。,两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。,例1：, （移频性质）,例2：正弦幅度调制,正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。,1、已知 ，求 的傅里叶变换 ；,2、求信号 的傅里叶变换；,1、,2、因为 ，所以由对偶性可得,所以,