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1、第五章 二次型,第一节 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,定
2、义2 对于n阶矩阵A和B，如存在n阶可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称B合同于A，记作,对A进行运算CTAC，称对A进行合同变换。,说明,1. 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,线性无关,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,思考题,思考题解答,2. 拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二
3、次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩,思考题,思考题解答,