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1、第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念,第五章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 S .,矩形面积,梯形面积,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的代替,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间 内物体所经过的路程 S .,解决步骤:,1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似代替,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3) 求和,4) 取极限,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同
2、:,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限值 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,关于定积分定义的几点说明,定积分的几何意义：,在区间a，b上，当f(x)0时，积分,在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的 曲边梯形的面积；,当f(x)0时，由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围 成的曲边梯形位于x 轴的下方，,y = - f(x),y = f(x),定积分在几何上表示上述曲线 边梯形面积的负值：,=- S,=-,我们对
3、面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号,它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb之间的各部 分面积的代数和,+,-,+,y = f(x),例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,下面是几个关于函数可积性的定理.,运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.,喂!,且只有有限个,间断点,四、定积分的性质,1,证,所以,则由性质7 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,证,说明：,该性质的几何意义是：,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,解,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,作业,P267 1 (2)(4) , 2,