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1、经过线性变换,二次型化为,例,则,给定二次型,设该二次型,化为:,则,经过线性替换,且,定义5.3,定理,如果存在n 阶,使得,则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵,合同。,可逆矩阵C,设A,B是两个n 阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵,定义,的二次型,只含平方项,5.2 二次型的标准形,与规范形,形式为,不含交叉项,的秩为,称为标准形.,定义,的二次型,每一个标准形,每一对角矩阵,只含平方项,形式为,不含交叉项,对应一个标准形.,是对角矩阵.,的秩为,称为标准形.,对应的矩阵,可写为,此标准形化为,定义,的二次型,称为实数域上,令,是一个标准形.,二次型的规范形.,形式为,即,定义
2、,的二次型,称为实数域上,其中正项的个数,负项个数,称为二次型的,称为二次型的,r是二次型的秩.,二次型的规范形.,正惯性指标,负惯性指标.,形式为,称为符号差.,其对应的矩阵为：,个,p个1,r-p个-1,在复数范围内,此标准形化为,形式为,二次型的规范形.,令,以上二次型可写为,的二次型,复数域上,本书均指实数域上的,规范形.,定义,称为,能否通过非退化线性替换,如果能够,用什么方法化为标准形?,一个二次型,化成,标准形?,二次型,通过非退化线性替换,化成标准形,对称矩阵A,合同到对角矩阵B.,又如何化为规范型？,给定二次型,如果经过线性替换,化为:,则,A与,对角矩阵,合同.,实对称矩阵
3、A,存在可逆矩阵C,经过非退化线性替换,二次型 f 化为:,使得,二次型,(一) 用配方法化二次型为标准形,(二) 用初等变换法化二次型为标准形,(三)用正交替换法化二次型为标准形,二次型,通过非退化线性替换,化成标准形,有三种方法:,例,化为标准形，,标准形,令,1. 用配方法,化二次型为标准形,二次型化为,并写出所作的,非退化线性替换.,将,解,例 将,化为标准形，,令,二次型化为,并写出所作的,非退化线性替换.,所作的非退化线性替换为,例,化为标准形，,并写出所作的,非退化线性替换.,解,令,二次型化为,将,例,化为标准形，,并写出所作的,非退化线性替换.,解,令,二次型化为,将,例,化
4、为标准形，,并写出所作的,非退化线性替换.,解,令,二次型化为,将,令,二次型化为,例,令,二次型化为,所作的非退化线性替换为,例,化为规范形，,并写出所作的,非退化线性替换.,解,令,二次型化为,将,令,二次型化为,规范形,例,令,二次型化为,所作的非退化线性替换为,标准形唯一吗？,标准形不唯一.,是规范形.,正惯性指标为,负惯性指标为,二次型的规范形,二次型的正惯性指标,令,令,由二次型本身,唯一决定.,由二次型本身唯一决定.,和负惯性指标,定理5.4 (惯性定理),为二次型f 的,定理5.4/,都与对角矩阵,任一二次型f,都可经非退化,线性替换,化为规范形.,且规范形由二次型,为二次型f
5、,1和1的个数共有,其中1的个数为,1的个数为,为二次型的秩.,唯一决定.,任一实对称矩阵A,合同,为二次型f的秩,其中,个,正惯性指标,的负惯性指标.,化二次型为标准形,对于任一对称矩阵A,C可逆,为初等矩阵,对角矩阵,作k次相同的列变换,存在可逆矩阵C,再单独对A,相应的行变换,线性变换的矩阵,作k次,2. 用初等变换法,使得,例,求非奇异矩阵C，,解,使得CTAC为,对角矩阵.,例,为标准形.,解,经可逆线性替换,化二次型,化为,求可逆线性替换,二次型对应的矩阵为,求可逆线性替换,化为规范形.,将,经过非退化线性替换,二次型化为：,例,为标准形.,解,二次型对应的矩阵为,求可逆线性替换,
6、化,例,为标准形.,解,二次型对应的矩阵为,求可逆线性替换,化,经非退化线性替换,二次型化为,二次型的秩为：,解,二次型对应的矩阵为A,例,为规范形.,求可逆线性替换,化,解,二次型对应的矩阵为A,例,为规范形.,求可逆线性替换,化,经可逆线性替换,二次型化为,3.用正交替换法,实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,存在正交矩阵Q,经过正交替换,定理4.14,标准形,A的所有特征值,实对称矩阵A,二次型化为：,化二次型为标准形,使得,使得,二次型,例,为标准形,解,特征值,Q是正交矩阵,并写出所作的线性替换.,利用正交替换法,令,对应的矩阵为,化二次型,经过正交替换,二次型化为,二次型对应的矩阵为,是正交矩阵，,例 用正交替换,为标准形,解,特征值：,1,2,并写出所作的线性替换.,二次型对应的矩阵为,两两正交,将 正交化,化二次型,Q是正交矩阵.,将它们单位化：,两两正交,令,经过正交替换,二次型化为,作业: P230 4， 5,