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1、第三节 用正交变换化二次型为标准形,一、正交变换,二、利用正交变换化二次型为标准形,下页,一、 正交变换,定义1 设P为n阶正交矩阵，X、Y是 中的n维向量，,称线性变换 XPY 是 上的正交变换.,性质：,（1）正交变换是可逆线性变换；,（2）正交变换不改变向量的内积.,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ri 重特征值 li 对应 ri 个线性无关的特征向量.,下页,定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使,其中,为A的n个特征值，,正交矩阵P的n个列向量,是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.,二、
2、用正交变换化二次型为标准形,利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：,(1) 写出二次型的矩阵形式； (2) 求出A的全部特征值1, 2, ， n ； (3) 对每一个特征值i , 解方程 (i E-A )X=0, 求出基础解系， 然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 XPY； (5) 所求二次型的标准形为,下页,例1. 用正交变换化下列二次型为标准形,解: 二次型的 f 系数矩阵为,矩阵的特征方程为：,解得，1=-2,2=3=7,下页,对于1=-2 ，解方程组 (-2E-A)
3、X=0,(7E-A)X=0,得基础解系,将其正交化得,将其单位化得,将其单位化得,解得，1=-2,2=3=7,得基础解系,例1. 用正交变换化下列二次型为标准形,下页,令,则通过正交变换,例1. 用正交变换化下列二次型为标准形,下页,例2. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为,由已知条件得,即 4(9- a2) =32 解得 a=1, a= -1 (舍去),由A相似于对角阵，得A的 特征值为 1=2，2=3=4,对于1=2 ，解方程组 (2E-A)X=0,得基础解系,下页,故A相似于对角阵，所以 A,把单位化，得对应于1=2
4、 的单位特征向量,对于2=3=4 ，解方程组 (4E-A)X=0 （注意求基础解系的过程）,4E-A,例2. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,4E-A,得 (4E-A)X0 的一般解为 x2=0x1 + x3,其基础解系为,例2. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,所求的正交矩阵为,例2. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,得 (4E-A)Xo的一般解为 x2=0x1 + x3,其基础解系为,例3. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,，求a , b的值,及正交变换矩阵P,解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为,由A相似于对角阵，得的 特征值为 1=0，2=1,3=4,对于1=0 ，解方程组 (0E - A)X=0,得基础解系,下页,由已知条件得,故A相似于对角阵，所以 A Tr(A)= Tr(),解得,即,把单位化，得对应于1=0 的单位特征向量,类似可得对应于=的单位 特征向量为,对应于=的单位特征向量为,所求的正交矩阵为,例3. 已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,，求a , b的值,及正交变换矩阵P,下页,作业： 176页 16(1) 17(1)(2) 19,结束,