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1、第八节 一般周期函数的傅里叶级数,一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数,二、正弦级数与余弦级数,回顾：函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2 的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,一、以2l 为周期的傅氏级数,定理 设周期为 2l 的周期函
2、数 f (x) 满足Dirichlet 充分条件，则 f (x) 的傅里叶级数,在每点处收敛.,且当 x 是 f (x) 的连续点时 , 级数收敛于 f (x) .,当 x 是 f (x) 的间断点时, 级数收敛于,其中,证明,则有,则有,解,二、正弦级数与余弦级数 1、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数,定理,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,定义,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,2、非周期函数展开成正弦或余弦级数,非周期函数的周期性延拓,则有如下两种情况,1)
3、奇延拓:,2) 偶延拓:,定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F (x),f (x) 在 0, 上展成,周期延拓 F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f (x) 在 0, 上展成,解,(1)求正弦级数.,将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,(2)求余弦级数.,将 f (x) 作偶周期延拓, 则有,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓,(2) 将 f (x) 作偶周期延拓,当函数定义在任意有限区间上时,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其展开方法为:,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将
4、代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,例3. 将函数,展成傅里叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z) 是奇函数, 故,则它满足收敛定,处收敛于,练习1.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于 .,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,练习. 写出函数,傅氏级数的和函数 .,答案:,三、小结,1. 验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,2.求出傅氏系数;,3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,以 2l 为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函数的周期性延拓 .,求傅里叶级数展开式的步骤：,将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出 其图形?,答: 易看出奇偶性及间断点,从而便于计算系数和写出收敛域 .,思考,需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确),1) 只有周期函数才能展成傅氏级数;,练 习 题,练习题答案,