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1、材料力学,第9章直梁弯曲强度计算,第9章梁弯曲 强度计算, 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力, 9.2 梁的弯曲正应力的强度计算, 9.4提高 梁弯曲强度的措施, 9.3梁的弯曲切应力和强度条件,学习目标与基本要求,1. 了解平面弯曲时梁横截面上的正应力的分析方法；,3.能熟练掌握弯曲正应力的强度条件及应用；,4.对弯曲切应力有初步的了解；,2.理解与掌握弯曲正应力沿截面高度的分布规律；,5. 通过“工程力学”中工程应用案例的了解，对 “提高弯曲强度的主要措施“有进一步的认识， 使学生看到科学知识对工程实践的指导作用。, 9.1梁纯弯曲时横截面上正应力,Q ,M ,AC、DB段横力弯曲,CD
2、段纯弯曲（Q=0）,一、梁的剪切变曲与纯弯曲的概念,一）观察变形现象 1、变形现象,2、假设 1）平面假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，只不过绕中性轴转过了一个角度。 2）单向受力假设：假设各纵向纤维层间无挤压或拉伸作用，各纵向纤维只承受单向拉伸或压缩。,二、梁纯弯曲时横截面上正应力,1)横向线m-m,n-n仍为直线，但转过了 一个微小角度；,2)纵向线a-a,b-b弯成了曲线，但仍与横向线垂直，且纵向线a-a缩短了，b-b则伸长了。,3、中性层与中性轴的概念 中性层：既不伸长也不缩短的一层纤维。,中性轴：中性层与横截面的交线。, 9.1梁纯弯曲时横截面上正应力,4.结论 1）根据平面
3、假设， 梁变形后横截面仍与各纵 线正交，即横截面上各点 无切应变，所以没有切应 力； 2）根据单向受力假设，单根纤维只产生轴向拉伸或压缩，因此横截面上只有正应力,二.纯弯曲梁横截面上的正应力 ,变形几何关系（分析b-b层）：,物理关系：,中性轴,横截面正应力布图：,静力学关系：,中性轴,条件：,1）,2）,平面弯曲,为拉应力,下边缘各点,为压应力,上边缘各点,y= 0,中性轴上各点=0,为压应力,下边缘各点,为拉应力,上边缘各点,y=0,中性轴上各点=0,三 .横截面上正应力分布状态及,截面关于中性轴对称 （塑性材料）,截面关于中性轴不对称 （脆性材料）,四. 在L/h5的细长梁的横力弯曲的正
4、应力计算公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算精度能满足一般工程要求。,五、惯性矩、抗弯截面系数的计算,一）简单截面惯性矩与抗弯截面系数的计算,1、矩形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算,2、圆形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算,3、圆环形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算,二）组合截面 的惯性矩、平行移轴公式,1、组合截面 的惯性矩,2、平行移轴公式,例 空心水泥板截面如图示，已知b、h和d，试求 阴影线部分对y轴惯性矩。,解：分析 阴影线部分对y轴的惯性矩等于矩形面积对y轴 的惯性矩减去两个圆形面积对y轴的惯性矩,9.2弯曲正应力强度条件及应用：,1）对塑性材料等截面梁：,2)对塑性材料变截面梁：,
5、3)对脆性材料等截面梁：,中性轴,例,矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，=10MPa，求危险截面上K点的正应力k，并校核梁的正应力强度。,2) 内力分析(M图)：,解：1) 外力分析：,危险截面在L/2处。,3) 应力分析：,中性轴,4) 强度校核：,例,讨论：设h=2b，1）求将梁横放时的最大正应力。 2）梁怎样摆放合理？,解：梁横放时横截面上最大正应力,答：梁竖放比横放合理。,2）比较横放与竖放时的合理性,中性轴,已知铸铁外伸梁(T形)，F 1=3kN，F 2=6.5kN，c为截面形心，Iz=800104mm4,y1=50mm，y2=8
6、2mm，+=35MPa， -=80MPa,试校核梁的正应力强度。,例,C截面,B截面,解：1）作弯矩图确定危险截面,2）应力分析确定危险点 根据弯矩图画C、B截面的应力分布图,C截面,B截面,3）校梁的强度,C截面,B截面,讨论：若将T型倒置，梁内最大拉应力将如何变化？梁是否安全,注意：1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。,2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。,例.,已知铸铁外伸梁(槽形)，q=10kN/m，P=20kN， Iz=4.0107mm4,y1=60mm,y2=140mm,+=35MPa， -=140MPa,试校核梁的正
7、应力强度。,1) 外力分析：,2) 内力分析(M图)：,解：,危险截面B、D。,2) 内力分析(M图)：,危险截面B、D。,3) 危险点的确定：,最大压应力点：b或c点。,最大拉应力点：a或d点。,4) 应力分析：,5) 强度校核：,强度满足。,B截面:,D截面:,例. 钢质悬臂梁如图所示，70MPa，若横截面为：圆形，正方形，h/b=2的矩形，工字钢；试分别选择尺寸，并比较耗费的材料。,x,M,40kN.m,解：(1) 内力分析(作M图),Mmax=40kN.m,(2) 强度计算,圆截面：,正方形：,h/b=2的矩形:,工字钢:,查表，选20a号工字钢,Wz237103mm3，A4=3550
8、mm2,A1:A2:A3:A4=1 : 0.894 : 0.709 : 0.252,材料耗费比：,讨论：,1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。,2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。,9.3弯曲切应力和切应力强度条件：,一) 矩形截面梁的剪应力：,剪应力的两个假设：,/ Q , 方向相同；,沿宽度均匀分布。,取微段dx，两侧面弯矩M、和M+dM，距中性轴为y的下面部分两侧面的正应力合力为：,讨论：,1) 沿截面高度按抛物线变化。,2) b为所求的点作水平线的实体宽度。,上、下边缘,二) 工字形截面梁的剪应力：,腹板上的剪应力计算：,
9、上式中，d和A分别为腹板的宽度和面积，Iz为 工字形截面对中性轴的惯性矩， 为中性轴 一侧半个工 字型截面面积对中性轴的静矩。对 于轧制的工字钢，式中 可由型钢规格表中 查得,三) 圆形截面梁的剪应力：,五) 剪应力强度条件：,四) 圆环形截面梁的剪应力：,注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控制，只有在下述几种情况才需要进行剪 应力强度校核 ：,梁的跨度较短，或在支座附近有较大的载荷作用。在这种情况下，梁的弯矩较小，而剪力较大；,铆接或焊接的工字型截面梁，当其腹板宽度与其高度的比值小于型钢的相应比值，这时应对腹板的剪应力进行强度校核；,经铆接、焊接或胶合而成的梁，应对铆钉、焊缝或胶合面
10、等一般要进行剪切强度计算；,木梁。因木梁沿顺纹方向的抗剪能力很低，一般要进行剪切强度计算。,例,由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，尺寸如图所示。胶合层的拉剪强度较小，=3.4MPa,试求其许用载荷P，并在此载荷作用下梁中的 max和相应的max。,1) 外力分析：,2) 内力分析(Q、M图)：,解：,3) 求P：,4)求最大剪应力,Sz*=1005050=25000mm3,4)求最大正应力,注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯矩相等。,例,外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力max=50MPa，求梁中最大剪应力及所在位置。,1) 外力分析：,2) 内力分析(Q、M
11、图)：,解：,3) 求形心位置：,4)求对中性轴的Iz：,5) 求P,7) 求,9.4提高梁弯曲能力的措施（工程应用案例）,控制条件：,1.合理安排梁的受力情况,1).合理安排支座,b)图的最大弯矩只有a)图的1/5,a),b),利用这个原理，工程中如设计锅炉筒体及吊装长构件时，其支承点不设在两端，而将支承向里移0.2L，龙门吊就是按此原理设计的。,2).合理安排载荷,a)图的最大弯矩是b)图的2倍,图a),图b),2.梁的合理截面形状,1）梁的合理摆放,因为hb, Wz2 Wz1, 所以图b)竖放比图a)横放来的合理,2）根据截面 的几何特性选择截面的几何形状（增大单位面积的抗弯截面系数WZ
12、/A）,上图表说明，槽钢、工字钢WZ/A的值最大， 而圆形截面的WZ/A最小，由此表明，实心圆 截面梁最不经济，槽钢、工字钢截面较为合 理。由横截面应力分布图可知，为了充分利用材料，应尽量减小中性轴附近的面积，而使更多的面积分布在离中性轴较远的位置。例如工程中的铁轨、起重机大梁、内燃机连杆等截面的设计就是运用了这一原理。,中性轴,a).对塑性材料,矩型截面,工字型截面,2）根据材料的特性选择截面的形状,中性轴,b).对脆性材料,3.等强度梁的概念,3.等强度梁的概念,c),通过以上“工程力学”中工程应用案例的了解， 对“提高弯曲强度的主要措施”有进一步的认识， 使同学们看到科学知识对工程实践的
13、指导作用。,提高弯曲强度的主要措施，从弯矩图和截面形状 两个方面来说明问题，前者从整体来看，后者是从 梁的一个截面来看，并在这里提出了等强度梁的概 念，这又是一个启示，这一节有总结前一阶段所学 内容的意义。,弯曲应力习题课,1）三关系推导弯曲正应力公式,2）弯曲剪应力公式,3）正应力强度条件和剪应力强度条件,塑性材料,脆性材料,例 AD梁由两根8号槽钢构成，B点由圆截面钢拉杆BC支承。已知d=20mm，梁和杆的=160MPa，求q 。,1) 外力分析：,2) 内力分析(M图)：,解：,3) 求许用q：,按梁的强度条件,按钢拉杆的强度条件,Wz=2 25.3cm3,例 槽形铸铁外伸梁如图所示，已知：+=40MPa，-=170MPa； P=30kN, a=1m, h=200mm， y=53.2mm， IZ=2.8107mm4， 试用正应力强度条件校核梁的强度。,1) 外力分析：,2) 内力分析(M图)：,解：,3) 强度校核：,危险截面：B和CD段的所有截面,B截面：,CD段：,3) 强度校核：,故该梁的正应力强度满足。,例截面为T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1：3，试求水平翼缘 的合理宽度b。,1) 确定中性轴的位置：,2) 求b：,解：,Bye!,