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1、,第四节,一、平面面积与立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,五、物体的引力,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从重积分定义出发建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序,2. 用重积分解决问题的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、平面区域的面积与立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,占有平面有界域 D 的平面的面积为,例1. 求由,
2、所围图形的面积.,y,x,解：,则所围图形的面积,D1,例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V .,解: 曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xoy 面上的投影为,(记所围域为D ),在点,例3. 求曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故
3、有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,则有,例4. 计算半径为 a 的球的表面积.,解:,取上半球面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则它在,xoy平面上的投影为,例5. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)部分的表面积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在球面 内部的面积最大？,例6. 设半径为R的球面 的球心在球面,解：如图建立直角坐标系，则,的方程为,球面 在球面 内部曲面 S 在xoy,面上的投影为,S 的方程为,上，问 R 取何值时，球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,令,
4、得到驻点,由于,得当,时，曲面S的面积达到最大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,则得形心坐标：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若物体
5、为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的 静矩, 对 y 轴的 静矩,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求半径为R的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的质心. (密度为1),解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,利用对称性可知,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求质心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求位于两圆,和,的质心, 其中,解: 利用对称性可知,而,四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z)
6、 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例10. 求均
7、匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求半径 R，母线2h 的均匀圆柱体,关于中间位置的,截面圆某直径的转动惯量.,解: 以z轴为对称轴，截面圆直径为 x 轴建立坐标系,G 为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,设面密度为 ,半径为
8、R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时? (2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,提示:,记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则,(用极坐标),机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,