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1、实验三 快速傅立叶变换(FFT)及其应用,一、实验目的,了解计算DFT算法存在的问题及改进途径。 掌握几种DFT算法（时间抽取算法DIT算法，频率抽取算法DIF算法，线性调频Z变换即CZT法）。 学习并掌握FFT的应用。,二、实验原理,有限长序列通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N的平方成正比）, 很难实时地处理问题, 因此引出了快速傅里叶变换(FFT)。 FFT并不是一种新的变换形式,它只是DFT的一种快速算法.并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法.,DFT的快速算法FFT是数字信号处理的基本方法和基本技术，是必须牢牢掌握的。 时
2、间抽选FFT算法的理论推导和流图详见数字信号处理教材。该算法遵循两条准则： （1）对时间奇偶分；（2）对频率前后分。 这种算法的流图特点是： （1）基本运算单元都是蝶形 任何一个长度为N=2M的序列，总可通过M次分解最后成为2点的DFT计算。如图所示：,WNk称为旋转因子 计算方程如下： Xm+1(p)=Xm(p)+WNkXm(q) Xm+1(q)=Xm(p)-WNkXm(q),（2）同址（原位）计算 这是由蝶形运算带来的好处，每一级蝶形运算的结果 Xm+1(p)无须另外存储，只要再存入Xm(p)中即可，Xm+1(q) 亦然。这样将大大节省存储单元。 （3）变址计算 输入为“混序”（码位倒置）
3、排列，输出按自然序排 列，因而对输入要进行“变址”计算（即码位倒置计算）。 “变址”实际上是一种“整序”的行为，目的是保证“同址”。,FFT的应用,凡是利用付里叶变换来进行分析、综合、变换的地方，都可以利用FFT算法来减少其计算量。 FFT主要应用在 1、快速卷积 2、快速相关 3、频谱分析,快速傅立叶变换的MATLAB实现,提供fft函数计算DFT 格式 X=fft(x) X=fft(x,N) 如果x的长度小于N，则在其后填零使其成为N点序列，若省略变量N，则DFT的长度即为x的长度。 如果N为2的幂，则得到高速的基-2FFT算法；若N不是2的乘方，则为较慢的混合算法。 如果x是矩阵，则X是
4、对矩阵的每一列向量作FFT。,由题目可得 x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t) fs=100 N=128/1024,例：已知信号由15Hz幅值0.5的正弦信号和40Hz幅值2的正弦信号组成，数据采样频率为100Hz,试绘制N=128点DFT的幅频图。,fs=100; N=128; n=0:N-1; t=n/fs; x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); y=fft(x,N); f=(0:length(y)-1)*fs/length(y); mag=abs(y); stem(f,mag); title(N=128点),利
5、用FFT进行功率谱的噪声分析,已知带有测量噪声信号 其中f1=50Hz,f2=120Hz, 为均值为零、方差为1的随机信号，采样频率为1000Hz，数据点数N=512。试绘制信号的频谱图和功率谱图。,t=0:0.001:0.6; x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t); y=x+2*randn(1,length(t); Y=fft(y,512); P=Y.*conj(Y)/512; %求功率 f=1000*(0:255)/512; subplot(2,1,1); plot(y); subplot(2,1,2); plot(f,P(1:256);,序列长度和FFT的长度
6、对信号频谱的影响。,已知信号 其中f1=15Hz,f2=40Hz,采样频率为100Hz. 在下列情况下绘制其幅频谱。 Ndata=32,Nfft=32; Ndata=32,Nfft=128;,fs=100; Ndata=32; Nfft=32; n=0:Ndata-1; t=n/fs; x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); y=fft(x,Nfft); mag=abs(y); f=(0:length(y)-1)*fs/length(y); subplot(2,1,1) plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2) title(Ndata=
7、32,Nfft=32),Nfft=128; n=0:Ndata-1; t=n/fs; x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); y=fft(x,Nfft); mag=abs(y); f=(0:length(y)-1)*fs/length(y); subplot(2,1,2) plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2) title(Ndata=32,Nfft=128),快速傅立叶逆变换（IFFT）,函数调用格式 y=ifft(x) y=ifft(x,N) 当N小于x长度时，对x进行截断，当N大于x长度时，对x进行补零。,对信号 进行DFT，对
8、其结果进行IDFT，并将IDFT的结果和原信号进行比较。 f1=40Hz f2=15Hz Fs=100Hz,fs=100; N=128; n=0:N-1; t=n/fs; x=sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*15*t); subplot(2,2,1) plot(t,x) title(original signal) y=fft(x,N); mag=abs(y); f=(0:length(y)-1)*fs/length(y); subplot(2,2,2) plot(f,mag) title(FFT to original signal),xifft=ifft(y); magx=
9、real(xifft); ti=0:length(xifft)-1/fs; subplot(2,2,3) plot(ti,magx); title(signal from IFFT) yif=fft(xifft,N); mag=abs(yif); subplot(2,2,4) plot(f,mag) title(FFT to signal from IFFT),线性卷积的FFT算法,在MATLAB实现卷积的函数为CONV，对于N值较小的向量，这是十分有效的。对于N值较大的向量卷积可用FFT加快计算速度。 由DFT性质可知，若DFTx1(n)=X1(k),DFTx2(n)=X2(n)则 若DFT
10、和IDFT均采用FFT和IFFT算法，可提高卷积速度。,计算x1(n)和x2(n)的线性卷积的FFT算法可由下面步骤实现,计算X1(k)=FFTx1(n); 计算X2(k)=FFTx2(n); 计算Y(k)=X1(k) X2(k); 计算x1(n)*x2(n)=IFFTY(k).,用函数conv和FFT计算同一序列的卷积，比较其计算时间。,L=5000; N=L*2-1; n=1:L; x1=0.5*n; x2=2*n; t0=clock; yc=conv(x1,x2); conv_time=etime(clock,t0) t0=clock; yf=ifft(fft(x1,N).*fft(x2,N); fft_time=etime(clock,t0),clock函数读取瞬时时钟 etime(t1,t2)函数计算时刻t1,t2间所经历的时间。,四、实验报告要求,简述实验目的、原理 对于8点FFT的显示，讨论其特点。 与离散卷积结果相比较，讨论快速卷积方法的优越性。,