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1、第五节 二次型及其标准型,二次型及其标准形的概念,二次型的表示方法,二次型的矩阵及秩,化二次型为标准形,小结,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,定义1,f 称为实二次型.,f 称为复二次型.,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,取,于是,则,2用矩阵表示,其中A为对称矩阵.,则二次型可记为,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，,任给一个二次型，,就唯一地确定一个对称矩阵；,反之，任给一个对,称矩阵，,也可唯一地确定一个二次型,这样，二,次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,对称
2、矩阵A称为二次型f 的矩阵;,f 称为对称矩阵A的二次型；,对称矩阵A的秩称为二次型f 的秩.,解,例,写出二次型,的矩阵.,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，,我们讨论的主要问题是：,寻求可逆的线性变换，,将二次型化为标准形,记,则上述可逆线性变换可记为,代入,有,证明,即 为对称矩阵.,定义,设A和B是n阶方阵，,若有可逆矩阵C，,使,则称A与B合同。,定理1,任给可逆矩阵C，,若A为对称矩阵，,则B也为对称矩阵，,且有,令,A为对称矩阵，,既有,于是,说明,但二次型的矩阵由A变为,准型，,就是使,由于对任意的实对称矩阵A，,使,即,把此结论应用于,二次型，有,定理2,任给二次型,总有
3、正交变换,使f 化为标准形,总有正交矩阵P,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,1.写出二次型的矩阵A；,2.求出A的所有特征值,3.求出对应于特征值的特征向量,得,记,5.作正交变换,则f 的标准形为,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,将二次型,通过正交变换化为标准形.,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,解方程,得基础解系,取,解方程,得基础解系,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,令,得,所以,于是所求正交变换为,且有,解,例3,求一个正交变换,把二次型,化为标准形.,二次型的矩阵为,它的特征多项式为,二、三、四行分别减去第一行，得,于是A的特征值为,解方程,得基础解系,单位化得,解方程,得正交的基础解系,单位化即得,于是正交变换为,且有,五、小结,1.实二次型的化简问题，,在理论和实际中经常遇到，,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，,而这是已经解决了的问题.,2.实二次型的化简，,并不局限于使用正交矩阵，,根据二次型本身的特点，,可以找到某种运算更快,的可逆变换,下一节，我们将介绍另一种方法,格朗日配方法,曲面.,求一正交变换，,例4,化为标准型，,将二次型,解,二次型的矩阵为,则,所以A的特征值为,对应的特征向量分别为,单位化得,故正交变换为,