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1、6.3 惯性定理和二次型的规范形,定理 任一秩为r的二次型,均可经过适当的可逆线性替换 化为,其中 ， ， 。,推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式 的对角矩阵,其中 。,设 是 n元二次型，且 秩(A) = r：,1f 是复二次型,存在可逆复线性替换 把 f 化为,其中 。,再令,则 f 被进一步变为,称上式为复二次型的规范形。,定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性 替换化为规范形且规范形唯一。,推论 对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存 在n阶可逆复矩阵C ，使得,例 设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复数域 上合同的充分必要条件是,2f 是实二次型,存在可逆实线
2、性替换 把 f 化为,其中 。,再令,则 f 被进一步变为,称上式为实二次型的规范形。,定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。,推论 对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A，一定 存在n阶可逆实矩阵C，使得,其中p由A唯一确定。,定义 在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是 1(或 -1)的平方项个数 p(或 r -p )称为 f 的正(或负)惯 性指数，称 2p - r为 f 的符号差。,注 实二次型的任一标准形中，系数大于(小于)零 的平方项个数即为正(负)惯性指数。,例 已知实对称矩阵,与下述三个对角矩阵,之一合同，试确定之。,解 考虑二次型,对其作可逆线性替换,则,由此得 f 的正、负惯性指数均为1。,而二次型,中，只有 的正、负惯性指数均为1。所以，f 只能 通过非退化线性变换为 ，即 A只能与 合同。,例 设 A是n阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若 ，则存在n维非零列向量 ，使,证明 考虑 n元二次型,用正交替换 把其化为标准型,则,因 ， ，且 n为奇数，所以 均不为零且至少有一个大于零。不妨设 。,取 n维列向量 ，则,令 。因 可逆，故 且,