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1、1,复习与回顾,(一） 转动惯量 定义,2,会聚定理:,复习与回顾,平行轴定理,3,惯量椭球方程:,复习与回顾,4,（四）惯量主轴,如果适当旋转坐标系的话，可以消除交叉项，对于惯 量张量来说，也就是可以使其对角化。,定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的 坐标轴为惯量主轴。,5,要使该式成立，则,就是A的相似矩阵 。,对应于惯量张量，如果对角化后三个本征值为：,6,7,关于惯量主轴的讨论：,惯量主轴垂直于惯量椭球面；,证明：先复习曲面的梯度与曲面法线的关系：,称为曲面上P点的梯度，与该点的法线方向相同。,8,则 点的法线方向是,如果设过原点的矢量 的方向与椭球面的法线方向相同，则：,如
2、果设 与椭球面的交点为 ，则上式等价于：,代入 的三个分量，得：,9,如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：,与几何中的标准椭球方程相比较,10,证明：必要性：,设 x 为主轴，由于 x 轴与椭球面的交点坐标为,11,故椭球面在（x,0,0）点的法线方向为：,说明 x 坐标轴与椭球面交点的法线方向与 x 轴方向一 致，即 x 轴垂直于椭球面，故 x 轴为惯量主轴。,12,如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：,a. 如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量 椭球的主轴；,注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体 不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。,13,b. 如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量 主轴之一将垂直于该平面；,14,c. 通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为 该点的惯量主轴。,和质心联系的椭球称作中心惯量椭球，中心惯量椭 球的主轴称为中心惯量主轴。,15,证明： x、y、z 为中心惯量主轴，则：,联系的惯量椭球的主轴。,16,17,解法二：如图建立坐标系， 则x，y不是主轴，z是主轴,18,解法三：按定义求：,