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1、第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1 二次型及其标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,例如：,都是二次型。,不是二次型。,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示（重点）,注,1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好是,的系数。,3、,的系数的一半分给,可保证,例如：二次型,注：二
2、次型 对称矩阵,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。,解,问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在 中取值的标准形,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换)：,代入(1)式，使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,简记,设,若,一、 非退化线性变换（可逆线性变换）,为可逆线
3、性变换。,当C 是可逆矩阵时, 称,对于二次型，我们讨论的主要问题是：,寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。,即二次型,经过可逆线性变换,使得,为什么研究可逆 的变换？,即经过可逆线性变换,可化为,对于这种矩阵的关系我们来进行定义,矩阵的合同：,证明,定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则,注：合同仍然是一种等价关系,矩阵合同的性质：,(1) 反身性,(2) 对称性,(3) 传递性,记作,二. 化二次型为标准形,正交变换法（重点） 配方法,目标：,问题转化为：,回忆：,此结论用于二次型,所以，,(P191 定理6.2.1),P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交,的单位特征向量。,例
4、1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。,解（1）写出二次型 f 的矩阵,(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量,而它们所对应的标准正交的特征向量为,(3) 写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,即,（4） 写出,的标准型。,易知经上述正交变换,后所得二次型的标准型,2.,解 二次型的矩阵为,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,作正交变换 X=QY，则,注：正交变换化为标准形的优点：,在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。,2. 配方法, 同时含有平方项,与交叉项,的情形。,例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形
5、。,解：,令,二次型的标准形为,所求的可逆线性变换为,即,为标准形,并求出所作的可逆线性变换.,例3 用配方法化二次型,解 令, 只含交叉项,的情形。,即,令,则二次型的标准形为,所用的可逆线性变换为,以上说明：,注意：,2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.,定理,二次型必可化为规范形。,证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:,(思考为什么一定可化为上面形式？),再做一次可逆的线性变换,则 f 化为,思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？,思考并回答,(1) 二次型的标准形唯一吗？,(2) 二次型的标
6、准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？,(3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？,(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？,思考题：1、,(1) 合同且相似；,(2) 合同但不相似；,(3) 不合同但相似；,(4) 不合同且不相似；,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得 ，从而,解得,A与D有相同的特征值，分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与
7、正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,6.3 正定二次型,本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型.,在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即,则称这两个二次型等价。这相当于,即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。,我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩 阵的合同等价类。,什么条件决定两个二次型等价？,我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.,例如 与 不可能等价.,因为不存在可逆矩阵 C 满足,因为,( P196 定理6.3.1 ),在二次型的标准形中，正项个数与负项个
8、数 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。,二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.,设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r p . f 的规范形为,惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。从而对称阵的合同等价.,如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。,定义,正定二次型为,正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。,显然，
9、如果 f 负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。,二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x0，都有 f(x) = xTAx 0. (注：书上以后者为定义),必要性：设 f 正定，即,对任意x0，则 ，故,充分性：反证。如果有某个 ，取, 与 矛盾。,( 霍尔维茨定理 ),对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即,判别二次型,是否正定.,它的各阶顺序主子式,故上述二次型是正定的.,f 的矩阵为,解,是正定二次型？,解 二次型的矩阵为,A的顺序主子式为：,所以当,例2 问t 满足什么条件时，二次型,A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。,判别二次型,的正定性.,解,二次型的矩阵,它的各阶顺序主子式,A是负定矩阵，二次型是负定二次型。,或者，判别 为正定.,解,判别二次型,是否正定.,二次型的矩阵为,即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.,求得其特征值,与矩阵 合同的矩阵是( ),A特征值是两正一负。,设 是正定矩阵, 证明,