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1、2011年3月17日星期四,1,教学目的: 通过具体问题引出定积分概念-某种特殊和式的极限。揭示不定积分和定积分之间的联系与区别及定积分的性质，通过牛顿-莱布尼兹公式解决定积分的计算。 教学要求： 深刻理解定积分定义中体现的极限思想和方法。熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式和定积分的性质，会正确进行定积分的计算。,Chapt 7. 定积分,2011年3月17日星期四,2,引 言,从历史上说,定积分的概念产生于计算封闭曲线围成区域的面积.在计算过程中把问题归结为具有特定结构的和式的极限.人们逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算面积的数学工具,而且是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立
2、体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分. 本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.,Chapt 7. 定积分,2011年3月17日星期四,3,本章主要内容 1. 定积分的概念 2. 定积分存在的条件 3. 定积分的性质 4. 定积分的计算,Chapt 7. 定积分,2011年3月17日星期四,4,实例1: （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,2011年3月17日星期四,5,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积,（四个小矩
3、形）,（九个小矩形）,基本思想(以直代曲),具体做法(如下),2011年3月17日星期四,6,曲边梯形如图:,1.分割,2.代替,分法任意,取法任意,2011年3月17日星期四,7,曲边梯形面积为,3.求和,4.取极限,曲边梯形面积的近似值为,注意A的结构,2011年3月17日星期四,8,实例2: （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。,以恒代变,设某物体作直线运动，已知速度V是时间间隔 上的一个连续函数，且 ，求物体在这段时间内所经过的路程,2011年3月17日
4、星期四,9,(1)分割,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(2)代替,路程的近似值,2011年3月17日星期四,10,二、定积分的定义,定义,(Rienann和),2011年3月17日星期四,11,记为,2011年3月17日星期四,12,(Rienann积分),2011年3月17日星期四,13,注意：,(Rienann可积),2011年3月17日星期四,14,黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。他的思想和工作直接影响了19世纪后半期数学发展，许多新分支取得辉煌成就。他给出的定积分定义不再要求
5、被积函数的连续性.,2011年3月17日星期四,15,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,a,b,2011年3月17日星期四,16,几何意义：,a,b,2011年3月17日星期四,17,2011年3月17日星期四,18,例1: 利用定义计算定积分,解:,2011年3月17日星期四,19,公式,2011年3月17日星期四,20,小结:,1.定积分定义 (解决问题的思想方法),2.定积分的几何意义,作业: P287 (2),3.规定:,2011年3月17日星期四,21,例2: 利用定义计算定积分,解:,2011年3月17日星期四,22,2011年3月17日星期四,23,证明:,利用对数的性质得,2011年3月17日星期四,24,极限运算与对数运算换序得,积的对数等于对数的和,2011年3月17日星期四,25,故,