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1、第6章 定 积 分,6.1 定积分概念与性质,6.2 微积分基本公式,6.3 定积分的换元积分法和分部积分法,6.4 定积分的应用,6.5 反常积分初步,目 录,6.1 定积分概念与性质,一 、定积分问题举例,1 曲边梯形的面积,.,设,在区间,上非负、连续由曲线,及直线,所围成的,图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲,边梯形的面积,图6-1,在区间,内任意插入,个分点,，,这样整个曲边梯形就相应地被直线,分成,个小曲边梯形，区间,被分成,个小区间的长,这时它的面积可以用小矩形的面积来近似在每个小,上任取一点, 用,作为第,形的高(图6-1) ，则第,个小曲边梯形面积的近似值为, 第,小
2、区间,度,对于第,个小曲边梯形来说，,当其底边长,足够小时，其高度的变化也是非常小的，,区间,个小矩,个小曲边梯形的面积相加，得到整个曲,边梯形面积的近似值,从直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲,边梯形的面积就会越接近，因而和式,与曲,边梯形的面积也会越接近，记, 当,时, 和式,的极限即为曲边梯形的面积，即,这样，将,2 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动，已知速度,是时间,间隔,的连续函数，且,上,，计算在这,段时间内物体所经过的路程,对于匀速直线运动，有公式：,路程速度时间,但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变,化着的变量，因此所求路程,是连续变化的，在很短的时间内，
3、速度的,变化很小因此如果把时间间隔分小，在小段时间,不能直接按匀速直线,.,以匀速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部,分路程的近似值；再求和得到整个路程的近值最,后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物,体在时间间隔,描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，,具体描述为：,在区间 内任意插入 个分点,，,把区间,分成,个小区间,内的路程对于这一问题的数学,.,各小区间的长度依次为,在时间间隔,上的路程的近似值为,其中,为区间,上的任意一点整个时间段,上路程,的近似值为,记, 当,时，和式,的极限,即为物体在时间间隔,内所走过的路程即,二、 定积分的定义,上面的两个例子,面积,路程,
4、.,抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本,定义1 设函数,在区间,上有界，在,中任意插,入,个分点,分成,把区间,个小区间,各小区间的长度依次为,质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念,.,.,在每个小区间,上任取一点,，作乘积,，再作和式,（6-1）,记,如果不论对,怎样分法，,也不论在小区间,上点,怎样取法，只要当,.,时，和,总趋于确定的极限,，这时我们称,这个极限,为函数,在区间,上的定积分(简,称积分)，记作, 即,(6-2),其中,叫做被积函数，,叫做被积表达式，,叫做积分变量，,叫做积分下限，,叫做积分上限，,叫做积分区间,注 当和式,的极限存在时，其极限值
5、仅与,被积函数,及积分区间,有关，而与积分变量,所用的字母无关，即,如果,在,上的定积分存在，我们就说,在,上可积相应的和式,也称为积分和,.,对于定积分，有这样一个重要问题：函数,在,上满足怎样的条件，,上一定可积?,在,定理1 设,在区间,上连续，则,上可积,在,定理2 设,在区间,上有界，且只有有限个间断,点，则,在,上可积,利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分,别表述如下：,.,曲线,与,轴及两条直线,所围成的曲边梯形的面积,等于函数,在区间,上的定积分即,物体以变速,作直线运动，从时刻,到时刻,，物体经过的路程,等于函数,在区,间,上的定积分，即,.,.,三 、 定积分的几何
6、意义,在区间,上,时，我们已经知道，定积分,在几何上表示曲线,及两条直线,与,轴所围成的曲边梯形的面积；在,上,时，由曲线,及两条直线,与,轴所围成的曲边梯形位于,轴的下方，定积分,在几何上表示上述曲边,.,梯形面积的负值；在,上,既取得正值又取得,负值时，函数,的图形某些部分在,轴上方，而其,他部分在,轴的下方(图6-2)如果我们对面积赋以正,负号，在,轴上方的图形面积赋以正号，在,轴下方,的图形面积赋以负号，此时定积分,表示介于,轴、函数,的图形及两条直线,之间的,各部分面积的代数和,图（6-2）,.,.,四 、定积分的性质,为了以后计算及应用方便起见，先对定积分作以下两,点补充规定：,(
7、1) 当,时，,(2) 当,时，,在下面的讨论中，积分上下限的大小，如不特别指明，,均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存,在的,.,.,性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，,即,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即,( 是常数),性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的,定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设,，则,.,按定积分的补充规定，不论的相对位置如何，总有等式,成立例如，当,时，由于,于是得,.,性质4 如果在区间,上,，则,性质5 如果在区间,上，,，则,推论1 如果在区间,上，,则,.,推论2,证 因为,所以由推论1及性质2可
8、得,即,.,性质6 设,及,分别是函数,在区间,上的,最大值及最小值，则,证 因为, 所以由性质5及推论1得,再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式,例1 估计定积分,的值,解 因,在,连续，所以在,上可积，,又因为,所以,上单调减少，从而有,在,于是由性质6有,性质7 (定积分中值定理) 如果函数,在闭区间,上连续，则在积分区间,上至少存,在一点,，使下式成立：,这个公式叫做积分中值公式,证 由性质6得,这表明，确定的数值,介于函数,的最,小值,及最大值,之间根据闭区间上连续函数的,介值定理，在,上至少存在一点,，使得函数,在点,处的值与这个确定的数值相等，即应有,两端各乘以,，即得所要证的等式,图6-3,积分中值公式有如下的几何解释：在区间,上至少,存在一点,，使得以区间,为底边、以曲线,为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为,个矩形的面积(图6-3),的一,显然，积分中值公式,（,在,与,之间）,不论,或,都是成立的.,称为函数在区间,上的平均值,