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1、第七章 平面图形的几何性质,7-1 静矩、形心,一、静矩（S）,面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。,1.静矩的单位：长度的三次方;,2.静矩可正可负也可能为零。, 7-1 静矩、形心,二、形心（C）,1.理论力学的质心,2.材料力学的形心, 7-1 静矩、形心,3.静矩与形心的关系,截面图形对于某一轴的静矩若为零，则该轴必定经过截面的形心；截面图形对于形心轴的静矩恒等于零。, 7-1 静矩、形心,2.材料力学的形心,三、组合图形的静矩与形心,静矩：,形心：, 7-1 静矩、形心,7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积,一、定义,面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。,1.惯性矩：,2.极惯性矩,3.惯
2、性积,4.惯性半径, 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积,1. 单位：长度的四次方；,3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；,2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同；,4.若y、z轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。,二、常见图形的惯性矩和极惯性矩,1.矩形, 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积,y,z为形心对称轴,2.圆形,a)实心(d),b)空心(D、d、 ),三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积, 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积, 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积,解：,例题7-2-1. 实心圆，直径为d，,7-3 平行移轴定理,已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴
3、过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。,平行移轴定理是指平面图形对于相互 平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。,C点的坐标为（a，b）, 7-3 平行移轴定理,由于y、z轴通过图形的形心，则Sy=Sz=0。,1.过形心的惯性矩最小；,2. (a,b)表示C点的坐标，惯性积没有上述结论。,即：, 7-3 平行移轴定理,例题 7-3-1 求图示截面图形的Ic。, 7-3 平行移轴定理,解：,zC,C1,C2,7-4 转轴定理,转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。,已知Iy，Iz ，Iyz ， (逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，I
4、y1z1 。,y1,y,y,z,z,一、转轴公式, 7-4 转轴定理,同理可得：,或：,即：, 7-4 转轴定理,二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩,主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。 形心主轴：过形心的主惯性轴。 主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。,令：,得：,形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。, 7-4 转轴定理, 7-4 转轴定理,二、小结,1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴； 2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴； 3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心轴均为形心主轴； 4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任意轴为主轴，其惯性矩相同。,例题7-4-1 求图示图形的形心、 惯性矩、惯性积、惯性主轴 及主惯性矩。,1、形心,2、惯性矩, 7-4 转轴定理,解：,3、惯性主轴,4、主惯性矩, 7-4 转轴定理,同理得,z1,y1,第七章完,作业：P462； P464, 7-4 转轴定理,思考：P475,