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1、Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria,第七章 应力应变分析 强度理论,概述,扭转,纯弯,轴向拉压,过同一点的不同方向面上，,应力也不相同的；,应力状态：,过一点所有方向面上应力的集合。,基本内容,介绍应力状态的基本概念；,描述一点应力状态的基本方法；,分析过一点任意方向面上的应力以及这些应力的基本方法；,分析方法：,基于平衡原理的解析方法；,基于解析结果的图解法应力圆方法；,7-1 应力状态概述,7-2 二向和三向应力状态的实例,7-4 二向应力状态分析-图解法,7-5 三向应力状态,7-3 二向应力状态分析-解析法,7
2、-8 广义胡克定律,7-9 复杂应力状态的应变能密度,7-10 强度理论 ( Failure criteria),7-12 莫尔强度理论 (Mohrs failure criterion),7-1 应力状态概述,一.什么是应力状态？,三.如何描述一点的应力状态?,二.为什么要研究应力状态?,一.什么是应力状态？,1. 应力的点的概念:,各不相同;,同一截面上不同点的应力,横截面上的正应力分布,同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。,横截面上的切应力分布,结果表明：,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,2.应力的面的概念,各不相同；,过同一点不同方向面上的应力,
3、受轴向拉力作用的杆件，受力之前,表面的正方形,受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。,横截面上没有切应力；,受拉之前,表面斜置的正方形,受力之前,在其表面斜置的正方形在受拉后，正方形变成了菱形。,这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。,受扭之前，圆轴表面的圆,轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。,受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？,应 力,指明,应力的点的概念与面的概念,研究的目的:,危险面上，危险点的危险方向面的应力,请看下面几段动画,1.铸铁和低碳钢的拉伸实验 （A tensile test of low-carbon steel and cast iron）,2
4、.铸铁和低碳钢的扭转实验 （A torsional test of low-carbon steel and cast iron）,二.为什么要研究应力状态?,低碳钢 （low- carbon steel）,?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁 （cast-iron）,铸铁和低碳钢的拉伸,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,铸铁和低碳钢的扭转,低碳钢 （low- carbon steel）,铸铁 （cast-iron）,为什么要研究应力状态?,试件的破坏不仅在横截面，,有时也沿斜截面发生破坏,不仅要研究横截面上的应力,而且也要研究斜截面上的应力。,三、如何描述一点的应力状态,微
5、元,微元及其各面上的应力来描述一点的应力状态。,约定:,微元体的体积为无穷小；,相对面上的应力等值、反向、共线;,三个相互垂直面上的应力；,一般空间应力状态,一般平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,四、应力状态的常用术语,1.主单元体,各侧面上切应力均为零的单元体,2.主平面,3.主应力,切应力为零的平面,主平面上的正应力,说明：一点处必定存在这样的一个单元体，三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 ，且规定按代数值大小的顺序来排列，即,五、应力状态的分类,1.空间应力状态,2.平面应力状态,3.单向应力状态,三个主应力
6、 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零,三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零,三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零,三向应力状态,平面应力状态,一点的应力状态,提取危险点处应力状态；,本章难点,应力状态是一切应力分析的基础；,如何提取危险点处应力状态？,1 提取拉压变形杆件危险点的应力状态,单向应力状态,2 提取拉压变形杆件任一点沿斜截面的应力状态,3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态,纯剪切应力状态,A,若取最前面的A点,A,A1,A点的切应力方向与扭矩顺流，与外力偶矩反向,A1外力偶的方向由上向下，故A的切应力方向由上向下。,T,思考？,若取最上面的点和最下面的点，切应力的方向如何呢？
7、,4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态,单向应力状态,5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态,平面应力状态,6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态,纯剪切应力状态,7 提取工字形截面梁上一点的应力状态,S平面,8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,练习题,1 提取危险点的应力状态,拉伸：处处为危险点，单向应力状态,扭转：纯剪切状态,2 提取点的应力状态,拉扭：边沿各点危险点,弯扭：处处为危险截面，上下为危险点,3 提取危险点处应力状态,拉弯：最下边缘各点危险点,拉弯扭：最下边沿各危险点,4 提取 各点的应力状态,左3点：,1点：,2点：,3点：,右3点（纯弯曲）：
8、,横力弯曲,4点：,5点：,6点：,5 提取危险点处应力状态,横力弯曲（双向弯曲）：,P1前后弯曲：前压后拉,P2上下弯曲：上拉下压,6 提取危险点处应力状态,拉弯,7 提取危险点处应力状态,拉扭弯,7-2 二向和三向应力状态的实例,圆柱型压力容器,一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为，内直径为D，D，内压为p）,圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,轴线方向的应力,压力容器的纵向截取,pl,横向应力,承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态:,二向不等值拉伸应力状态,纵向截面和横向截面都是主平面,球形压力容器,二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为，内直径为D，D，内压为
9、p）,球形容器受二向拉应力状态，易发生破坏,3、三向应力状态实例,滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态,三向压应力状态，不易破坏,水管防冻，水管壁处于几向应力状态？,7-3 二向应力状态分析解析法,本节主要任务：,一、方向角与应力分量的正负号约定;,二、微元的局部平衡;,三、平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力;,四、主应力、主平面，最大切应力;,一、方向角与应力分量的正负号约定,拉为正,压为负,1、正应力符号约定,使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,2、切应力符号约定,3、方向角的符号约定,由 x正向逆时针转到截面外法线x正向为正； 反之为负。,二、微元的局部平衡,截取微元
10、体, 平衡对象, 平衡方程, 参加平衡的量,用 斜截面截取的微元局部,力,微元体平衡,应力乘以其作用的面积；,平衡方程,平衡方程,三、平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力,化简以上两个平衡方程最后得：,任意方向面上正应力与切应力的表达式：,用 斜截面截取，此截面上的应力为,不难看出:1),结论1：即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数。,不难看出:2),即又一次证明了切应力的互等定理。,四、主应力、主平面，最大切应力,主平面、主应力与主方向,平面应力状态的三个主应力,面内最大切应力,过一点所有方向面中的最大切应力,1. 主平面、主应力与主方向,切应力=0的方向面为主平面。,上式对 求一
11、阶导数，并令其等于零；,解出的角度,角度与 0 完全重合。,另解：,主应力是所有方向面上的正应力的极值。,表明,正应力的极值面与主平面重合；,正应力的极值就是主应力；,求正应力的极值面,2.平面应力状态的三个主应力,将三个主应力代数值由大到小顺序排列;,根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效；,确定失效的形式；,因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。,（1）当x y 时，0 是x与max之间的夹角，此时| 0 | 45,（2）当x 45,（3）当x=y，则当xy0时， 0 =-45o；当xy0时， 0 =45o,判断0是x与哪一个主应力间的夹角,3.面内最大切应力,由此得出另一
12、特征角，用1表示,对求一次导数，并令其等于零；,得到 的极值,上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。,特别指出:,二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。,例1，单元体的应力状态如图所示。 试求主应力并确定主平面的位置。,解：建立坐标系,1）主平面的方位：,2）主应力的大小,例2、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时的破坏现象。,解：1）确定危险点并画其原始单元体（横截面的外层各点切应力最大）,O,2)求极值正应力方位角,则：由045确定的主平面上的主应力为max,由0135确定的主平面上的主应力为min,3)求极值正应
13、力,破坏分析,铸铁,进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45螺旋面）断开的。,因此，脆性破坏是由最大拉应力引起的。,例题3 ：简支梁如图所示。已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =70MPa， =50MPa。确定A点的主应力及主平面的方位。,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大切应力（应力单位取MPa）,随堂练习,2、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大切应力（应力单位取MP）,7-4 二向应力状态分析-图解法,一、应力圆方程,二、应力圆的画法,三、应力圆的应用,四、三向应力状态的应力圆圆,一、应力圆方程,1.
14、圆心的坐标,2.圆的半径,此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle），或称为莫尔圆（Mohrs circle）,二、应力圆画法,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；,1、点面对应,2、转向对应,3、二倍角对应,1、点面对应,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,具体作圆步骤,三、应力圆的应用,在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。,1.从应力圆上确定任意斜截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE。圆周上 E
15、 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力。,A,B,2.从应力圆上确定主应力的大小,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,b,e,D,b,e,3 从应力圆上确定主平面方位,主应力排序： s1s2 s3,4 从应力圆上确定面内最大切应力,最大切应力为最高点的坐标,与主平面成45o或-45o,例1：根据应力圆求轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,b,e,例2：根据应力圆求纯剪切状态的主应力,四、 三向应力状态的应力圆,只能画出主单元体的应力圆草图,由s2 、 s3可作出应力圆 I,由s1 、 s3可作出应力圆II,I,II,I,由s1 、 s2可作出应力圆 III,s1,II,I,s3,III,
16、s2,结论,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。,最大切应力方位角：,最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直，并与1和3所在的主平面成45角。,tmax,估算：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应 力max。,7-5 三向应力状态分析,三向应力状态的分析非常复杂，将在弹性力学里进行分析。本节只讨论有单元体的三个主应力在已知的情况下，确定最大切应力和主应力之间的关系（解析法）。,已知: 三向应力状态如图所示，图中应力的单位MPa。,例 题,试求：主应力及微元内的最大切应力。,作应力圆草图,所给的应力状态中有一个主应力是已知的；
17、,侧视图：从右向左看：,x,y,微元内的最大切应力,三个主应力,随堂练习,求下列单元体的三个主应力,7-8 广义胡克定律,一、基本变形的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向线应变,2）纯剪切胡克定律,纵向线应变,前后线应变,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,主单元体上的正应力产生主应变，,最大主应变是1,3、广义胡克定律的一般形式,线弹性、小变形、各向同性材料；,适用性：, 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的角应变,讨论,1、,即,即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。,2、当 时，即为二向应力状态：,3、当 时，即为单向应力状态；,4 一般的二向应力状态的广义
18、胡克定律,5、三个弹性常数之间的关系,例：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩M，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm, E=200GPa, 泊松比=0.3。试求F和M的值。,u,u,解：（1）提取应变片处的应力状态,k,（2）构造广义胡克定律,（3）计算外力偶M.,解:围绕A点取一单元体,1、60mm90mm的矩形截面外伸梁。材料的弹性模量为 E200GPa，泊松比为u=0.3。测得A点处-4520010-6。若已知P180kN，求P2？,随堂练习,2、等截面圆杆受力如图，直径为D30mm，材料的
19、弹性模量为E200GPa，泊松比0.3，测得A点沿轴向的线应变为A5104，B点与轴线成45 的线应变为B4.26104。求外载荷M1、M2。,3、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽b60mm， 高h100mm。梁的跨度为l3m，载荷F作用在梁的中点。图示中K点的两个主应变为15104， 21.65104。材料的弹性模量为E200GPa，泊松比0.3。求主应力1、2、及力F,4、圆截面杆的直径为D20mm，材料的弹性模量为 E200GPa，泊松比0.3。测的构件表面上一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向a320106，与轴线垂直方向b96105，与轴线成45度角方向 c565106，求外载荷
20、P、M,一、强度理论的概念,1.引言,7-10 强度理论(The failure criteria),轴向拉压,弯曲,剪切,扭转,弯曲,切应力强度条件,正应力强度条件,满足,是否强度就没有问题了？,经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,人们根据大量的破坏现象，通过判断、推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，,找出引起破坏的主要因素，,强度理论：,一、 建立强度理论的基本思想,1、不同材料在同一环境及加载条件下对为失效具有不同的抵抗能力。,例1 常温、静载条件下,低碳钢的拉伸破坏,表现为塑性
21、屈服失效；,低碳钢塑性屈服失效时光滑表面出现45度角的滑移线；,具有屈服极限,铸铁脆断失效时沿横截面断裂；,铸铁拉伸破坏,表现为脆性断裂失效；,具有抗拉强度极限,2、同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抵抗能力。,切槽导致应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸应力状态。,例2 常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉,不再出现塑性变形；,沿切槽根部发生脆断；,平断口,例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时,此时材料处于压缩型应力状态；,失效：,铸铁受压后形成鼓形，具有明显的塑性变形；,出现塑性变形；,例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件受轴向压力和围压作用下,发生
22、明显的塑性变形；,此时材料处于三向压缩应力状态下；,建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则,基本思想：,确认引起材料失效的共同的力学原因，,提出关于这一共同力学原因的假设；,根据实验室中标准试件在简单应力情况下的破坏实验，,建立材料在复杂应力状态下的强度条件。,二、 经典强度理论,构件由于强度不足将引发两种失效形式,如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,脆性断裂：,材料无明显的塑性变形即发生断裂；,断面较粗糙；,且多发生在最大正应力的截面上；,例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,塑性屈服（流动）：,材料破坏前发生显著的塑性变形；,破坏断面粒子较光滑；,且多发生在最大切应力面上；,1.最大拉应力理论（第一强度
23、理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；,伽利略于1638年：砖、铸铁、石头等拉伸断裂,认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂,脆断准则：,适用范围：,混合型应力状态中拉应力占主导,特别适用于拉伸型应力状态：,但,相应的强度条件：,材料的脆断,如铸铁拉伸、铸铁扭转,2、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3、对塑性材料的破坏无法解释，,1、只突出 未考虑的 影响，,局限性：,4、不能解释材料在三向均压下不发生断裂的事实；,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值
24、，材料就发生断裂,材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变；,脆断准则：,1862年，马略特,复杂应力状态下最大线伸长应变,断裂条件:,相应的强度条件：,单向应力状态下,要求材料在脆断前均服从胡克定律,适用范围：,1、铸铁在压应力占主导混合型应力状态中，引起的材料脆断,材料的脆断,铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,2、石料、混凝土、花岗岩等少数脆性材料,受压时在横向(1方向)开裂,实验结果较符合,局限性：,1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，,2、在二向或三向受拉时，,似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。,3.最大切应力理论 （第三强度理论）,库伦于1733年提出假设，曲特
25、加1864年加以完善,材料发生塑性屈服的主要因素是,最大切应力；,屈服准则：,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大切应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,复杂应力状态下的最大切应力,屈服条件：,相应的强度条件：,单向应力状态下,适用例子：,此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；,并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,适用范围：,偏于安全,常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业,屈服失效,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则,4.畸变能密度理论（第四强
26、度理论）,范.米塞斯与1913年提出,材料发生塑性屈服的主要因素是,畸变能密度；,无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,复杂应力状态的畸变能密度,单向应力状态下,屈服条件,强度条件:,对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,塑性屈服,适用范围：,计算值与实际值比较接近；,它比第三强度理论更符合实际。,计算较为严密；,材料性能、载荷较为稳定的土建行业。,二、相当应力（Equivalent stress）,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力。,无论材料处于什么应力
27、状态,只要发生同一种破坏形式,都是由于同一种因素引起。,复杂应力状态,相当应力状态,已有简单拉 压试验资料,强度理论,强度条件,脆性材料 （断裂）,第二强度理论,第一强度理论,按某种强度理论进行强度校核时，要保证满足如下两个条件:,塑性材料 （失效）,第三强度理论,第四强度理论,强度理论选用原则：,用于脆性材料的拉伸、扭转或拉应力占主导地位的混合材料,仅用于石料、混凝土等少数材料。或压应力占主导地位的脆断,可进行偏保守（安全）设计。,可用于更精确设计，要求对材料强度指标 、载荷计算较有把握。,1、所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应;,2、用以确定许用应力，也必须是相应于该破坏形
28、式的极限应力。,例1 试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度理论，并寻求塑性材料许用切应力和许用拉应力之间的关系。,解：纯剪切是拉压二向应力状态，且,对塑性材料，若选用第三强度理论得强度条件为:,剪切的强度条件为：,得：,即：为的1/2,对塑性材料，若选用第四强度理论得强度条件为:,即：,按第三强度理论得到：,按第四强度理论得到：, = 0.5 , 0.6 ,案例分析1:,把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。,案例分析2:,水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，
29、而水管发生爆裂。,原因：球心处于三向拉伸应力状态。,冰受三向压应力，不易破裂；,原因：,水管处于二向不等拉应力状态，又因水管是铸铁，不抗拉，故水管易发烧爆裂,练习题,1、“塑性材料无论处于复杂应力状态，都应采用第三或第四强度理论，而不能采用第一或第二强度理论。”,错,2、下列说法中哪一个正确？,A：强度理论只适用于复杂应力状态； B：第一、第二强度理论只适用于脆性材料； C：第三、第四强度理论只适用于塑性材料； D：第三、第四强度理论适用于塑性流动破坏,1.适用范围,（2）塑性材料选用第三或第四强度理论;,（3）在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏，故选用第一或第二强度理
30、论;,三、 各种强度理论的适用范围计算步骤,（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;,（4）在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。,2.强度计算的步骤（Steps of strength calculation）,（1）外力分析：确定所需的外力值;,（2）内力分析：画内力图，确定可能的危险面，求危险截面内力;,（3）应力分析：画危面应力分布图，确定危险点，并画出 单元体 ，求主应力;,（4）强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。,1（判断） “塑性材料无论处于什么应力状态，都应采用第三或第四强度理论，而不能采用第
31、一或第二强度理论。”,2、“脆性材料不会发生塑性屈服破坏。”,3、“常用的四种强度理论，只适用于复杂的应力状态，不适用于单向应力状态。”,3.应用举例（Examples）,5、机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，宜采用 强度理论进行强度校核？,A：第一、第二； B：第二、第三； C：第三、第四； D：第一、第四；,4、下列说法中哪一个正确？,A. 强度理论只适用于复杂应力状态； B. 第一、第二强度理论只适用于脆性材料； C. 第三、第四强度理论只适用于塑性材料； D .第三、第四强度理论适用于塑性流动破坏,6、 强度理论符合下图混凝土立方块的破坏。 A：第一强度理论； B：第二强度理
32、论； C：第三强度理论； D：第四强度理论；,7、某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？,A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；,7、危险点为二向拉伸应力状态的铸铁构件，采用 强度理论进行校核。,A：只能用第一强度理论； B：只能用第二； C：第一、第二均可以； D：用第四、第三；,8、厚玻璃杯注入沸水而破裂，裂纹起始于： 。,A：内壁； B：外壁；C：壁厚中间；D：内壁、外壁同时破裂；,8、图示为塑性材料拉扭组合变形下危险点的应力状态，应选择第几强度理论？,第三或第四,9、图示中的单元体属于 应力状态？,A：单向； B：二向；C：三向； D：纯剪
33、切,1、一蒸汽锅炉承受最大压强为p，圆筒部分的内径为D，厚度为 d，且 d 远小于D。试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度。已知 p=3.6MPa，d=10mm，D=1m，=160MPa。,计算题,内壁的强度校核:,所以圆筒内壁的强度合适。,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度:,2、对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力。,（b）,解：（1）单元体（a）,（2）单元体（b）,（3）单元体（c）,（4）单元体（d）,F,解：危险点A的应力状态如图,3、直径为d=0.1m的圆杆受力如图，Me=7kNm， F=50kN，材料为铸铁，=40MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。
34、,故安全。,F,Me,Me,4、图示中实心圆截面杆件的直径为d，构件总长为2a，承受集中力P和外力偶M的联合作用。今测得中间横截面表面上端沿轴线方向的线应变为0，前段与轴线成45的线应变为为45，材料的弹性模量为E，泊松比为，忽略剪力影响。,求：1）P和Me 2）指出危险点的位置、并画出危险点处的应力状态 3）计算危险点处第三强度理论的相当应力。,解：1）确定中间截面的内力,画危险点的单元体,A点单元体,B点在中性轴上，其单元体为,强度条件,构造广义胡克定律:,2）经分析，固定端为危险截面，最上端点为危险点,3）相当应力,5、圆轴受拉、扭的联合作用，直接D=10mm，M=PD/8 Nm， 求结构的许可载荷P?,1)材料为普通碳钢，许用应力为=160MPa,2)材料为铸铁，泊松比为=0.25，许用拉应力为t=160MPa，许用压应力为c=160MPa。,3)拉力改为压力P，上述二种结果有无变化？为什么？,解：1）任一截面的内力,画危险点的单元体,因为材料为碳钢，破坏为屈服失效，故选第三或第四强度理论,2）因材料为铸铁，破坏形式为脆断，故选用第一或第二强度理论,3）若拉力改为压力P,对材料为碳钢没有影响,当材料为铸铁时，,所以只能选用第二强度理论，,第七章结束,