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1、,第13章 组合变形,第二篇 材料力学,工程力学, 拉/压与弯曲的组合, 偏心压缩, 本章小结, 弯曲与扭转的组合,第13章 组合变形, 斜弯曲, 概述, 截面核心,组合变形（combined deformation）是指在外力作用下杆件将同时产生两种或两种以上的基本变形。,13.1 概 述,压弯组合的烟囱,偏心压缩的厂房吊车立柱,弯扭组合的皮带轮轴,组合变形杆的计算方法 （杆件在线弹性，小变形情况下）,1. 将作用在杆上的荷载分解或简化，使杆在每种荷载作用下,只产生一种基本变形。,2. 分别计算每一种基本变形下杆的应力和变形。,3. 用叠加原理可得杆在组合变形下的应力和变形。,13.2 斜弯
2、曲,平面弯曲：具有纵向对称平面的梁，当外力作用在纵向对称平面内时,梁的轴线在此平面内弯成一条曲线，梁发生平面弯曲。,工程上有些梁, 外力虽然经过形心,但其作用面与形心主惯性平面既不重合,也不平行，这时梁变形后轴线不在形心主惯性平面(或与之平行的平面)内，梁发生斜弯曲。,一、正应力计算,1. 外力分解,Fy = Fcosj,Fz = Fsinj,Mz,2. x截面的内力(不计剪力),My,=Fy(l-x)=F(l-x)cosj,=Fz(l-x)=F(l-x)sinj,l,K(y,z),3. x截面任一点处正应力,Fy引起的正应力,Fz引起的正应力,x截面任一点处正应力：,l,二、中性轴的位置 最
3、大正应力,中性轴是一条过截面形心的直线。,+,=,令,得,中性轴方程,但对于Iy=Iz的截面(如正方形、圆形等正多边形），梁只发生平面弯曲。,对于IyIz的截面，中性轴与F力作用方向不垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。,设中性轴与z轴夹角，则,中性轴方程,最大正应力,中性轴将截面分成两部分，一部分受拉，另一部分受压，最大正应力发生在离中性轴最远的点。对于有凸角的截面（如矩形、工字形截面），最大正应力在角点。,强度条件,危险点为单向应力状态，强度条件为,先确定危险截面，再确定危险点,单向应力状态:由梁的强度计算结果可知，剪力引起的剪应力对强度的影响与由弯矩引起的正应力相比是次要的。因此，在组合变形
4、问题中，一般不考虑剪力的影响。,例题 悬臂梁,采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q作用,在自由端受水平集中力F作用。 Iz=5023.54cm4,Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4, Wy=48.28cm3,E=2105MPa，=160MPa。 试校核梁的强度。,解：,1.找危险截面、危险点,危险截面为固定端截面,2.效核梁的强度,危险点在固定端截面的角点A,=160MPa,梁是安全的,13.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,杆件受到轴向力与横向力共同作用时，杆件将产生拉伸（压缩）与弯曲组合变形。,当杆件产生的弯曲变形很小时，轴力在弯曲变形上所引起的附加弯矩很小，可忽略不计，故可
5、由叠加原理求得轴向力和横向力两种荷载共同引起的正应力。,轴向力F作用,横向力q作用,叠加后（F、q共同作用)A点正应力,A点正应力,叠加以后应力分布可能是,+,=,或,或,固定端截面为危险截面，危险点的应力为,危险点为单向应力状态,强度条件,max,例题 如图所示托架受荷载F=45kN作用。设AC杆为22b的工字钢，材料容许应力=160MPa，试校核AC杆强度。,解：,1.分析AC杆变形,AC杆为拉弯组合,FAy=15kN,FBy=60kN,FAx=FBx=104kN,危险截面为B点左侧截面,危险点为B点左侧截面上边缘各点,1.05=168MPa,AC杆是安全的,13.4 偏心压缩（拉伸）,杆
6、受到与轴线平行但不重合的外力作用时，杆产生偏心压缩（拉伸）（eccentric compression or tension）。,1. 力F力向形心简化,一、偏心压缩杆的强度计算,F,My = FzF,F作用产生轴向压缩；而My作用在xOz平面内产生平面弯曲（纯弯曲）;Mz作用在xOy平面内产生平面纯弯曲。,轴向力：,xOz面内力偶：,xOy面内力偶：,Mz = FyF,2. 任意横截面的内力,FN=F,My = FzF,轴力：,xOz面内弯矩：,这是轴向压缩与xOz、xOy平面内平面弯曲的组合，任一横截面均为危险截面。,xOy面内弯矩：,Mz = FyF,3. 任意横截面上某一点（B点）的应
7、力,B(y,z),轴力引起：,弯矩My引起：,叠加得总应力（平面分布）,弯矩Mz引起：,+,=,或,对于有凸角的截面，最大正应力必定发生在角点，角点D1产生最大压应力，角点D2产生最大拉应力，其应力及强度条件为,例题1 一端固定并有切槽的杆，材料容许应力=10MPa，试校核杆的强度。,解：,危险截面为切槽处截面,危险点为截面上左上边缘A点,A,=10MPa,杆不安全,例题2,钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为D140 mm，内、外径之比dD0.75。铸铁的拉伸许用应力35 MPa，压缩许用压应力90 Mpa。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中FP15 kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离
8、(偏心距)e400 mm。,试校核：立柱的强度是否安全。,用假想截面m-m将立柱截开，研究上半部分。由平衡条件得截面上的轴力和弯矩分别为,解：1.确定立柱横截面上的内力分量,FNFP15 kN MxFPe6 kN.m,立柱在偏心力FP作用下产生拉伸与弯曲组合变形。由于立柱内所有横截面上的轴力和弯矩都是相同，所有横截面的危险程度是相同的。根据横截面上轴力FN和弯矩Mx的实际方向可知，横截面上左、右两侧上的b点和a点分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为,解：2.确定危险截面并计算最大应力,解：2.确定危险截面并计算最大应力,二者的数值都小于各自的许用应力值。这表明立柱的最大拉伸应力点和最大压
9、缩点的强度都是安全的。,偏心压缩时，当压力作用点离横截面形心越近时，中性轴离横截面形心越远。中性轴可能与横截面边界相切或在横截面以外,此时，整个横截面只产生压应力。,工程上有些材料（如混凝土、砖、石等），其抗拉强度很小，因此，偏心受压杆要求横截面上不产生拉应力（即中性轴不穿过横截面），外压力必须作用在横截面形心附近的某一区域内，该区域称为截面核心（core of a section）。,13.5 截面核心,偏心压缩杆的强度计算公式:,已知：,代入上式,设yo和zo为中性轴上任一点的坐标：,即：,这就是中性轴方程，一条不通过截面形心的直线方程。,分别令z0=0和y0=0，可以得到中性轴方程在y、
10、z轴上的截距：,上式表明：,中性轴位置与外力作用点位置分别在截面形心的两侧。,任意形状截面的截面核心确定：,作中性轴1与周边相切，其截距为ay1和az1，故外力作用点的坐标为,即可确定1点。,再分别作中性轴2、3，用相同的方法，可得到2、3等点。连接这些点所得的闭合区域就是截面核心。,例 试确定下图所示矩形截面的截面核心。,解：矩形截面的对称轴y和z是形心主轴。该截面的,先将与AB边重合的直线作为中性轴，它在y和z轴上的截距分别为,则,同理可求得当中性轴与BC边重合时，与之对应的2点的坐标为,中性轴与CD边重合时，与之对应的3点的坐标为,中性轴与DA边重合时，与之对应的4点的坐标为,连接1点、
11、2点、 3点和4点就是截面核心的边界。最后得到矩形截面的截面核心是一个菱形，其对角线的长度分别是h/3和b/3。（中间三分点）,13.6 弯扭组合,曲拐AB段、传动轴将发生弯曲与扭转的组合变形,A端截面为危险截面，,1. F向AB杆B截面形心简化,2. AB杆内力,截面内力：,主应力为,危险点为c1、c2点,2=0,A截面,上顶点处于二向应力状态，强度计算（塑性材料）,第三强度理论,3r*=1-3 ,第四强度理论,注意：圆截面 Wp=2Wz,例题 一钢质圆轴，直径d=8cm，其上装有直径D=1m、重为5kN的两个皮带轮，如图所示。已知A轮皮带的拉力为水平方向，C轮皮带的拉力为垂直方向，设钢的=
12、160MPa,试按第三强度理论校核轴的强度。,解：,2.找危险截面、危险点,3.校核轴的强度,1.分析变形,1.分析变形,扭转变形外加一个方向平面弯曲,2.找危险截面、危险点,危险截面可能为B截面或C截面,两个截面的合成弯矩为,B截面为危险截面,危险点?,3.校核轴的强度,第三强度理论,=160MPa,轴是安全的,本章小结,组合变形的定义,斜弯曲,拉压与弯曲组合,弯曲与扭转组合,拉伸与弯曲,偏心压缩,截面核心,分析基础：杆件的基本变形应力计算。,计算方法：叠加法。,本章小结,组合变形杆件强度计算步骤：,外力分析：,将外力（荷载）向截面形心或截面形心主轴方向简化，分成若干组，使得每组只产生一种基本变形。,内力分析：,作出每一种基本变形的内力图。综合每种基本变形下的内力图，确定最危险截面的位置。,本章小结,应力计算：,根据应力分布规律，判断最危险点位置。分别计算每一种基本变形在危险点的应力，用叠加法得到组合变形杆件危险点的正应力和剪应力。,强度计算：,根据危险点的应力状态和杆件的材料，选择适当的强度理论进行强度计算。,本章作业,13-1 13-3 13-5 13-11 13-13* 13-15#,