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1、与等量关系一样，不等关系也是自然界中存在着的基本关系 ，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中起着重要作用。,31 不等关系与不等式,实际生活中,长短,大小,轻重,高矮,一、问题情境,在数学上,这是某酸奶的质量检查规定,用数学关系来反映就是：,二、学生活动,从表格中你能获得什么信息？,1某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？ 问题1：8折优惠时一张票要多少元？购买20人的团体票共需要多少元？ 问题2：什么时候单独买票比购买20人的团体票便宜? 什么时候购买20人的团体票比单独买票便宜? 问题3：这个问题是
2、用什么样的数学模型来解决的？,二、学生活动,2.下表给出了X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本：某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X，Y，这两种食物各取xkg，ykg，那么x,y应满足怎样的关系？,问题,1、取Z种食物多少kg？ 2、三种食物含维生素A共多少单位？ 三种食物含维生素B共多少单位？ 3、x,y应满足怎样的关系？,分层问题检测，将下列问题转化为数学模型（不求解）,1有一个不小于58但小于70的两位数，其个位数字比十位数字大3，求这个两位数的十位数字.,解：设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为 （
3、x+3）由题意得5810x+(x+3)70,2.某商品进货价为40元，现按50元一个可以卖出50个.为了获得最大利润，希望销售价大于50元.但市场预测：若商品单价再涨1元，则销售量就减少一个，（将从50个开始下降）.问：该商品最大利润是多少？ 解：该商品的利润为y,商品单价再涨x元，由题意得 y=(50+x-40)(50-x)(1x50,x是正整数),3已知b克糖水中有a克糖（b），若再添加m克糖，则糖水变得更甜.根据这个事实写出a,b,m所满足的不等关系。,解：,探究（一）：不等式的基本性质,如何比较实数a,b的大小？,有以下事实： 如果是a-b正数，那么ab；如果a-b等于零，那么a=b；
4、如果a-b是负数，那么ab.反过来也对。,即：,作差法,1判断两个实数大小的充要条件,对于任意两个实数a、b，在ab，a= b，ab三种关系中有且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是：,2不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式,3. 同向不等式与异向不等式,同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式.,异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：ab，cd，是异向不等式.,一、不等式的几个基本概念,同理：,即：不等式的两边都加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变,（对称性）,（传递性）,（加法法则）,二、不等式的基本性质,不等式的两边都
5、乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。,不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。,两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。,（同向可加性）,(乘法法则),两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向。,只有同向不等式才能相加、乘,(正数同向不等式的可乘性),(乘方法则),(开方法则),探究（二）：不等式的拓展性质,思考1：如果aibi(i1，2，3，n)，a1a2an与b1b2bn的大小关系如何？,aibi (i1，2，3，n) a1a2anb1b2bn,思考2：如果aibi(i1，2，3，n)，那么a1a2anb1b2bn吗？,aibi0 (i1，2，
6、3，n) a1a2anb1b2bn,思考3：如果ab，那么an与bn的大小关系确定吗？,ab，n为正奇数 anbn,思考4：如果ab，cd，那么ac与bd的大小关系确定吗？ac与bd的大小关系确定吗？,ab，cd acbd,思考5： 若ab，ab0，那么 的大小关系如何？,ab，ab0,不等式的性质,对称性,ab,传递性,ab，bc,可加性,ab,移项法则,a+cb,同向可加,ab，cd,可乘性,ab,同向正可乘,ab0，cd0,可乘方,ab0,可开方,ab0,(nR+),(nN),例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求证： ；,证明：,（1）因为ab0，所以,又
7、因为ab，所以,即,因此,（2）已知ab， cbd；,证明：（2）因为ab，cb，cd，,根据性质3的推论2，得,a+(c)b+(d)，即acbd.,（3）已知ab0，0cd，求证：,证明：（3）因为0cd，根据（1）的结论得,又因为ab0，所以,即,例2. 已知ab，不等式:（1）a2b2；（2） ；（3） 成立的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,A,例3设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则A，B的大小关系是 。,AB,（2）若3ab1，2c1， 求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0，1c24， 所以16(ab)c20,例4（1）如果30x36，2y6，求x2
8、y及 的取值范围。,18x2y32，,例5若 ，求 的取值范围。,例7,求:,的取值范围.,已知:函数,解：因为f(x)=ax2c,所以,解之得,所以f(3)=9ac=,因为,所以,两式相加得1f(3) 20.,练习已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=9，(m+n)=1，解得，,所以9ab= (ab)+ (4ab),由4ab1，得,由14ab5，得,以上两式相加得19ab20.,课堂小结,37,注:一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的这些基本性质 ,这是我们对不等式进行变形的基础.,作业,P74 2,4,