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1、第三章,截面图形的几何性质,退出,了解杆横截面图形的几何性质的定义和计算，为以后的强度、刚度计算作准备。,目的：,记住一些常用简单图形的几何性质的结论，学会一些组合图形的几何性质的计算方法。,要求：,截面的几何性质,退出,截面的几何性质,3-1 静矩(面积矩)形心杆的几何参数,3-2 惯性矩极惯性矩惯性积,3-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,3-4 惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴和主惯性矩,退出,3-1 静矩(面积矩)形心杆的几何参数,1. 静矩,(3-1),(3-2),2. 形心,若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩也必等于零
2、。 显然，若图形有一对称轴时，则图形的形心必在此对称轴上；若图形有一对称心时，则图形的形心必在此对称心上。,截面的几何性质,end,杆的几何参数 横截面 和轴线 (形心的连线)。主要研究等直杆。,例3-1 求底长为b，高为h的三角形对其底边y轴的静矩Sy 和 其形心到底边的距离,故其形心到底边的距离为：,截面的几何性质,end,矩形I,矩形II,整个图形形心C 的坐标为：,例3-2 求图示图形的形心位置,截面的几何性质,end,3-2 惯性矩极惯性矩惯性积,1. 惯性矩定义(mm4),惯性半径,2. 极惯性矩定义(mm4),(3-6),(3-7),(3-8),(3-9),(3-10),即： 图
3、形对任一对相互垂直的轴的惯性矩之和就等于对该两轴交点的极惯性矩。,截面的几何性质,end,3. 惯性积定义：( mm4),( 3-11 ),4. 计算,例 3-3 计算矩形对其对称轴的惯性矩,类似的有：,截面对有对称轴的任一对坐标轴的惯性积恒为零(见图3-8)。,截面的几何性质,end,例3-4 计算圆截面和空心圆截面对圆心的极惯性矩和对其对称轴的轴惯性矩,而,截面的几何性质,end,3-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,设有一截面图形如图所示，其面积为A，形心为C，是通过图形形心的一对坐标轴，而y，z是和其平行的一对坐标轴。,两对坐标轴间的距离可由C点的两形心坐标a、b来表达。 dA在yoz
4、坐标下的位置为,截面的几何性质,end,现推求图形对这两对坐标轴的惯性矩或惯性积间的关系。,此式中第一项即为Iyc；第二项为a2A；第三项为零，因为yc 轴是通过图形形心的轴，因此图形对yc轴的静矩应等于零。故：,(3-16),截面的几何性质,end,所以，整个图形对形心轴的惯性矩是：,例3-5 试计算图示图形对其形心轴 yc 的惯性矩 Iyc,截面的几何性质,end,3-4 惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴和主惯性矩,1.转轴公式,由图可见，微面积在新旧坐标轴内的坐标(y1,z1 )和(y，z)之间的关系为：,将上式中的z1代入Iy1的定义式并展开后得：,截面的几何性质,end,利用三角公式
5、,可将上式写成,此即惯性矩和惯性积的转轴公式。将上式中的前两式相加，可得：,(3-17),(3-18),这说明：图形对于通过同一点的任一对直角坐标轴的两惯性矩之和是一个常数,截面的几何性质,end,2. 主惯(性)轴和主惯(性)矩,总能找到一对直角坐标轴 y0 z0 ，使 对坐标轴即称为此截面图形的主惯轴。,利用(3-17)的第三式，可得到此主惯轴的位置：,将所得的代入式(3-17)的前两式，即得截面主惯矩的大小,(3-19),(3-20),(3-21),截面的几何性质,end,可以证明，截面主惯矩也是截面的最大和最小的惯性矩，所以也可将它们写成(3-21)式。,同样，在截面形心上也可以用(3-19)式找到其主惯轴, 称形心主惯轴；而其截面图形对其的惯性矩，称形心主惯矩也可由(3-20).、(3-21)求得。我们以后要用的就是它们。,截面的几何性质,end,例3-6 试确定图示图形的形心主惯轴的位置和形心主惯矩的大小。,先确定图形的形心位置：,将图形分成A,B两块，并选取参考坐标轴y ，z 如图所示。由公式(3-5)可得其形心坐标为：,截面的几何性质,end,再计算图形对过形心的另一参考坐标轴的惯性矩和惯性积：,截面的几何性质,end,将求得的值代入公式(3-19)得形心主惯轴的位置：,将上述的的值代入公式(3-20)或(3-21)即得形心主惯矩的大小：,截面的几何性质,end,