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1、1.5,1.5.1 曲边梯形的面积,1.5.2 汽车行驶的路程,1.5.3 定积分的概念,定积分的概念,一、定积分实际背景,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,分割,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似代替,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,称为最大小区间长,将所有小矩形面积全部加起来，即,2. 变速直线运动的路程,设某物体
2、作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 分割.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似代替.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,。,3) 求和.,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似代替 , 求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特定乘积和式的极限,二、定积分的概念,任取分点,即,特定乘积和式的极限,两个实际问题的积分表示为:,曲边梯形面积,变速运动路程,读作 f (x) 从 a 到 b 的定积分.,1.定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,关于定积分的说明:,2
3、.定义中曾要求积分限ab,我们补充规定:,三 定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,例1：,四、定积分的性质,(设所列定积分都存在),（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1 两个函数代数和的积分等于这两个函数 积分的代数和，即,( k 为常数),性质2 被积式中的常数因子可以提到积分号前面,性质3 (积分区间分割性质),当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,例2. 试估计,证: 设,比较在驻点及区间端点处的函数值,故,即,的值.,小结,1.定积分的概念,两个实例,定积分的定义,3.定积分的性质,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,曲边梯形的面积的代数和,练习. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,例1：,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,1.6微积分基本定理 定积分的计算,定积分计算,如何计算定积分？,定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.,根据几何意义，图不好画,定理,牛顿-莱布尼茨公式,微积分基本定理,微积分基本公式表明：,求定积分问题转化为求原函数的问题,注意,